Номер 5, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 14x}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$;

3) $f(x) = \frac{x^3 - 7x^2}{3x - 21}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 7x}$;

2) $y = (x + 5)\sqrt{x^2 + 7x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2 - 4x + 1$ на промежутке:

1) [1; 2];

2) [-3; 0].

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$.

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^3 + 14x}$ найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 + 14x \neq 0 \implies x(x^2 + 14) \neq 0$. Так как $x^2 + 14 > 0$ для любого $x$, то условие сводится к $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Теперь найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 14(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 14x} = -\frac{1}{x^3 + 14x} = -f(x)$. Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$ найдём область определения $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 7 \geq 0 \implies x^2 \geq 7$, что означает $x \in (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; \infty)$. Область определения симметрична относительно нуля. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 7} = \sqrt{x^2 - 7} = f(x)$. Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^3 - 7x^2}{3x - 21}$ найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $3x - 21 \neq 0 \implies 3x \neq 21 \implies x \neq 7$. Область определения $D(f) = (-\infty; 7) \cup (7; \infty)$ не является симметричной относительно нуля, так как точка $-7$ принадлежит области определения, а точка $7$ — нет. Для исследования на чётность/нечётность требуется симметричная область определения, поэтому данная функция является функцией общего вида.

Ответ: функция общего вида.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 7x}$. Область определения функции: $x^2 + 7x \geq 0 \implies x(x+7) \geq 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -7] \cup [0; \infty)$. Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$: $\sqrt{x^2 + 7x} = 0 \implies x^2 + 7x = 0 \implies x(x+7) = 0$. Нули: $x_1 = 0$, $x_2 = -7$. Промежутки знакопостоянства: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен ($\geq 0$). Следовательно, функция $y \geq 0$ на всей своей области определения. Строго положительна ($y>0$) она там, где подкоренное выражение строго больше нуля. $y > 0$ при $x \in (-\infty; -7) \cup (0; \infty)$.

Ответ: нули функции: -7, 0; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -7) \cup (0; \infty)$.

2) $y = (x + 5)\sqrt{x^2 + 7x}$. Область определения та же: $D(y) = (-\infty; -7] \cup [0; \infty)$. Нули функции: $(x + 5)\sqrt{x^2 + 7x} = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $\sqrt{x^2 + 7x} = 0 \implies x_1 = -7, x_2 = 0$. $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Это значение не входит в область определения, поэтому не является нулём функции. Итак, нули функции: -7 и 0. Промежутки знакопостоянства: на интервалах $(-\infty; -7)$ и $(0; \infty)$ множитель $\sqrt{x^2 + 7x}$ строго положителен, поэтому знак функции $y$ совпадает со знаком множителя $(x+5)$. - Если $x \in (-\infty; -7)$, то $x+5 < 0$, и $y < 0$. - Если $x \in (0; \infty)$, то $x+5 > 0$, и $y > 0$.

Ответ: нули функции: -7, 0; $y > 0$ при $x \in (0; \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -7)$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2 - 4x + 1$ на промежутке:

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$). Своё наибольшее значение функция достигает в вершине параболы. Найдём координату $x$ вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -2$. Значение функции в вершине: $y_в = y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$.

1) на промежутке $[1; 2]$. Вершина $x_в = -2$ не принадлежит этому отрезку. Так как отрезок $[1; 2]$ расположен правее вершины, функция на нём монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. $y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 - 4 + 1 = -4$. $y_{наим} = y(2) = -(2)^2 - 4(2) + 1 = -4 - 8 + 1 = -11$.

Ответ: $y_{наиб} = -4$, $y_{наим} = -11$.

2) на промежутке $[-3; 0]$. Вершина $x_в = -2$ принадлежит этому отрезку. Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение на отрезке равно значению в вершине. $y_{наиб} = y(-2) = 5$. Наименьшее значение будет достигнуто на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах: $y(-3) = -(-3)^2 - 4(-3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$. $y(0) = -(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $y_{наим} = 1$.

Ответ: $y_{наиб} = 5$, $y_{наим} = 1$.

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Обозначим $y = f(x)$ и решим уравнение относительно $x$: $y = \frac{x}{x^2 + 9}$. $y(x^2 + 9) = x$ $yx^2 - x + 9y = 0$. Это уравнение является квадратным относительно $x$ (если $y \neq 0$). Оно будет иметь действительные решения для $x$ только в том случае, если его дискриминант $D$ неотрицателен. Если $y=0$, уравнение превращается в $-x=0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ входит в область значений. Если $y \neq 0$, находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(y)(9y) = 1 - 36y^2$. Условие существования действительных корней $D \geq 0$: $1 - 36y^2 \geq 0$ $36y^2 \leq 1$ $y^2 \leq \frac{1}{36}$ $|y| \leq \frac{1}{6}$ Это неравенство равносильно $-\frac{1}{6} \leq y \leq \frac{1}{6}$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{6}; \frac{1}{6}]$.

Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{6}; \frac{1}{6}]$.