Страница 83 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 14x}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$;

3) $f(x) = \frac{x^3 - 7x^2}{3x - 21}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 7x}$;

2) $y = (x + 5)\sqrt{x^2 + 7x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2 - 4x + 1$ на промежутке:

1) [1; 2];

2) [-3; 0].

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$.

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^3 + 14x}$ найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 + 14x \neq 0 \implies x(x^2 + 14) \neq 0$. Так как $x^2 + 14 > 0$ для любого $x$, то условие сводится к $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Теперь найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 14(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 14x} = -\frac{1}{x^3 + 14x} = -f(x)$. Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$ найдём область определения $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 7 \geq 0 \implies x^2 \geq 7$, что означает $x \in (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; \infty)$. Область определения симметрична относительно нуля. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 7} = \sqrt{x^2 - 7} = f(x)$. Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^3 - 7x^2}{3x - 21}$ найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $3x - 21 \neq 0 \implies 3x \neq 21 \implies x \neq 7$. Область определения $D(f) = (-\infty; 7) \cup (7; \infty)$ не является симметричной относительно нуля, так как точка $-7$ принадлежит области определения, а точка $7$ — нет. Для исследования на чётность/нечётность требуется симметричная область определения, поэтому данная функция является функцией общего вида.

Ответ: функция общего вида.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 7x}$. Область определения функции: $x^2 + 7x \geq 0 \implies x(x+7) \geq 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -7] \cup [0; \infty)$. Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$: $\sqrt{x^2 + 7x} = 0 \implies x^2 + 7x = 0 \implies x(x+7) = 0$. Нули: $x_1 = 0$, $x_2 = -7$. Промежутки знакопостоянства: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен ($\geq 0$). Следовательно, функция $y \geq 0$ на всей своей области определения. Строго положительна ($y>0$) она там, где подкоренное выражение строго больше нуля. $y > 0$ при $x \in (-\infty; -7) \cup (0; \infty)$.

Ответ: нули функции: -7, 0; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -7) \cup (0; \infty)$.

2) $y = (x + 5)\sqrt{x^2 + 7x}$. Область определения та же: $D(y) = (-\infty; -7] \cup [0; \infty)$. Нули функции: $(x + 5)\sqrt{x^2 + 7x} = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $\sqrt{x^2 + 7x} = 0 \implies x_1 = -7, x_2 = 0$. $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Это значение не входит в область определения, поэтому не является нулём функции. Итак, нули функции: -7 и 0. Промежутки знакопостоянства: на интервалах $(-\infty; -7)$ и $(0; \infty)$ множитель $\sqrt{x^2 + 7x}$ строго положителен, поэтому знак функции $y$ совпадает со знаком множителя $(x+5)$. - Если $x \in (-\infty; -7)$, то $x+5 < 0$, и $y < 0$. - Если $x \in (0; \infty)$, то $x+5 > 0$, и $y > 0$.

Ответ: нули функции: -7, 0; $y > 0$ при $x \in (0; \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -7)$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2 - 4x + 1$ на промежутке:

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -1 < 0$). Своё наибольшее значение функция достигает в вершине параболы. Найдём координату $x$ вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -2$. Значение функции в вершине: $y_в = y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$.

1) на промежутке $[1; 2]$. Вершина $x_в = -2$ не принадлежит этому отрезку. Так как отрезок $[1; 2]$ расположен правее вершины, функция на нём монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. $y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 - 4 + 1 = -4$. $y_{наим} = y(2) = -(2)^2 - 4(2) + 1 = -4 - 8 + 1 = -11$.

Ответ: $y_{наиб} = -4$, $y_{наим} = -11$.

2) на промежутке $[-3; 0]$. Вершина $x_в = -2$ принадлежит этому отрезку. Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение на отрезке равно значению в вершине. $y_{наиб} = y(-2) = 5$. Наименьшее значение будет достигнуто на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах: $y(-3) = -(-3)^2 - 4(-3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$. $y(0) = -(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $y_{наим} = 1$.

Ответ: $y_{наиб} = 5$, $y_{наим} = 1$.

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Обозначим $y = f(x)$ и решим уравнение относительно $x$: $y = \frac{x}{x^2 + 9}$. $y(x^2 + 9) = x$ $yx^2 - x + 9y = 0$. Это уравнение является квадратным относительно $x$ (если $y \neq 0$). Оно будет иметь действительные решения для $x$ только в том случае, если его дискриминант $D$ неотрицателен. Если $y=0$, уравнение превращается в $-x=0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ входит в область значений. Если $y \neq 0$, находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(y)(9y) = 1 - 36y^2$. Условие существования действительных корней $D \geq 0$: $1 - 36y^2 \geq 0$ $36y^2 \leq 1$ $y^2 \leq \frac{1}{36}$ $|y| \leq \frac{1}{6}$ Это неравенство равносильно $-\frac{1}{6} \leq y \leq \frac{1}{6}$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{6}; \frac{1}{6}]$.

Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{6}; \frac{1}{6}]$.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1) $y = \frac{1}{2x + 1}$;

2) $y = \left|\frac{1}{2x + 1}\right|$.

1) $y = \sqrt{1 - 3x}$;

2) $y = \sqrt{1 - 3|x|}$.

1) Построить график функции $y = \frac{1}{2x+1}$.

График данной функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{2(x+0.5)}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами.
2. Строим график функции $y = \frac{1}{2x}$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сжатия к оси OY в 2 раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(\frac{x_0}{2}, y_0)$.
3. Строим график функции $y = \frac{1}{2(x+0.5)}$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{2x}$ путем сдвига влево вдоль оси OX на 0.5 единицы.

Свойства графика функции $y = \frac{1}{2x+1}$:

• Область определения: $2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0.5$. То есть, $D(y) = (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; +\infty)$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = -0.5$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.
• Точки для построения:
  • Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = \frac{1}{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
  • При $x=-1$, $y = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$.
  • При $x=0.5$, $y = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(0.5, 0.5)$.
  • При $x=-1.5$, $y = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(-1.5, -0.5)$.

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=-0.5$ и $y=0$. Одна ветвь расположена в области $x > -0.5$ и $y > 0$, другая — в области $x < -0.5$ и $y < 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2x+1}$ является гиперболой $y = \frac{1}{x}$, сжатой в 2 раза к оси OY и сдвинутой на 0.5 влево по оси OX. Асимптоты: $x=-0.5$, $y=0$.

2) Построить график функции $y = \left|\frac{1}{2x+1}\right|$.

График функции $y = |f(x)|$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: часть графика, расположенная выше оси OX (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси OX (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

1. Сначала строим график функции $y = \frac{1}{2x+1}$, как это было сделано в предыдущем пункте.
2. Часть графика, для которой $y \ge 0$ (то есть ветвь при $x > -0.5$), оставляем на месте.
3. Часть графика, для которой $y < 0$ (то есть ветвь при $x < -0.5$), отражаем симметрично относительно оси OX.

Свойства графика функции $y = \left|\frac{1}{2x+1}\right|$:

• Область определения: $x \neq -0.5$.
• Область значений: $y \ge 0$.
• Вертикальная асимптота: $x = -0.5$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Все точки графика лежат в верхней полуплоскости. Ветвь, которая была в III четверти, теперь находится во II четверти.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{1}{2x+1}\right|$ получается из графика $y = \frac{1}{2x+1}$ путем отражения его отрицательной части (при $x < -0.5$) относительно оси OX.

1) Построить график функции $y = \sqrt{1-3x}$.

График данной функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Запишем функцию в виде $y = \sqrt{-3(x - \frac{1}{3})}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, выходящая из точки (0,0).
2. Строим график $y = \sqrt{-x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси OY.
3. Строим график $y = \sqrt{-3x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{-x}$ сжатием к оси OY в 3 раза.
4. Строим график $y = \sqrt{-3(x - \frac{1}{3})} = \sqrt{1-3x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{-3x}$ сдвигом вправо вдоль оси OX на $\frac{1}{3}$ единицы.

Свойства графика функции $y = \sqrt{1-3x}$:

• Область определения: $1-3x \ge 0 \Rightarrow 3x \le 1 \Rightarrow x \le \frac{1}{3}$. То есть, $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}]$.
• Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки:
  • Начало графика: $(\frac{1}{3}, 0)$.
  • Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(0, 1)$.
  • При $x=-1$, $y=\sqrt{1-3(-1)}=\sqrt{4}=2$. Точка $(-1, 2)$.

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(\frac{1}{3}, 0)$ и идущую влево и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1-3x}$ — это ветвь параболы, симметричная ветви параболы $y=\sqrt{3x}$ относительно прямой $x=\frac{1}{3}$.

2) Построить график функции $y = \sqrt{1-3|x|}$.

График функции $y = f(|x|)$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: часть графика при $x \ge 0$ остается без изменений, а часть графика при $x < 0$ удаляется. Затем оставшаяся часть ($x \ge 0$) отражается симметрично относительно оси OY.

1. Строим график функции $y = \sqrt{1-3x}$ для $x \ge 0$. Область определения $y=\sqrt{1-3x}$ это $x \le \frac{1}{3}$. Таким образом, мы рассматриваем часть этого графика на промежутке $[0, \frac{1}{3}]$. Это дуга, соединяющая точки $(0,1)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.
2. Отражаем эту дугу симметрично относительно оси OY. Она соединит точки $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(0,1)$.

Свойства графика функции $y = \sqrt{1-3|x|}$:

• Область определения: $1-3|x| \ge 0 \Rightarrow 3|x| \le 1 \Rightarrow |x| \le \frac{1}{3}$. То есть, $D(y) = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.
• Область значений: Максимальное значение при $x=0$ равно $y=1$. Минимальное при $x=\pm\frac{1}{3}$ равно $y=0$. $E(y) = [0, 1]$.
• Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

График представляет собой арку, симметричную относительно оси OY, с концами в точках $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$ и вершиной в точке $(0,1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1-3|x|}$ — это симметричная относительно оси OY арка, определенная на отрезке $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|4|x|-3| = a(x-2)$ имеет три корня?

Решим задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |4|x|-3|$ и $y = a(x-2)$.

1. Построение графика функции $y = |4|x|-3|$.

Построение выполним в несколько этапов:

1. $y = 4x-3$: прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3/4, 0)$.
2. $y = 4|x|-3$: график, симметричный относительно оси OY. Для $x \ge 0$ совпадает с $y=4x-3$. Для $x < 0$ является отражением части для $x > 0$. Получаем "галочку" с вершиной в точке $(0, -3)$ и пересечениями с осью OX в точках $(-3/4, 0)$ и $(3/4, 0)$.
3. $y = |4|x|-3|$: часть графика $y = 4|x|-3$, которая находится ниже оси OX (от $x=-3/4$ до $x=3/4$), отражается симметрично относительно оси OX. Вершина $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

Итоговый график имеет W-образную форму с вершинами в точках $A(-3/4, 0)$, $B(0, 3)$ и $C(3/4, 0)$.

2. Анализ графика функции $y = a(x-2)$.

Это семейство прямых, проходящих через точку $P(2, 0)$, где $a$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой).

3. Поиск количества точек пересечения.

Будем мысленно вращать прямую вокруг точки $P(2, 0)$ и считать количество точек пересечения с W-образным графиком.

• При $a > 0$ прямая $y=a(x-2)$ положительна только при $x > 2$. График $y = |4|x|-3|$ при $x > 2$ представляет собой луч $y=4x-3$. Найдем точки их пересечения: $a(x-2) = 4x-3 \Rightarrow (a-4)x = 2a-3$.
  • Если $a=4$, решений нет (прямые параллельны). 0 корней.
  • Если $a \ne 4$, $x=\frac{2a-3}{a-4}$. Пересечение будет при $x>2$, что эквивалентно $\frac{2a-3}{a-4} > 2 \Rightarrow \frac{5}{a-4} > 0 \Rightarrow a > 4$. При $a>4$ есть 1 корень. При $0 < a < 4$ корней нет.
• При $a=0$ прямая $y=0$ (ось OX) пересекает график в двух точках: $A(-3/4, 0)$ и $C(3/4, 0)$. 2 корня.
• При $a < 0$ прямая проходит через I, II и IV квадранты. Возможны несколько точек пересечения. Количество корней будет меняться, когда прямая проходит через одну из вершин W-графика.
• Критический случай — прямая проходит через вершину $B(0, 3)$. Найдем соответствующее значение $a$. Прямая проходит через $P(2, 0)$ и $B(0, 3)$: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - 2} = -\frac{3}{2}$. При $a = -3/2$ проверим количество пересечений.
  • Прямая проходит через точку $B(0,3)$, это один корень.
  • Пересечение с лучом $y=4x-3$ ($x \ge 3/4$): $-\frac{3}{2}(x-2) = 4x-3 \Rightarrow -3(x-2) = 8x-6 \Rightarrow -3x+6=8x-6 \Rightarrow 11x=12 \Rightarrow x=12/11$. Так как $12/11 > 3/4$, это второй корень.
  • Пересечение с лучом $y=-4x-3$ ($x \le -3/4$): $-\frac{3}{2}(x-2) = -4x-3 \Rightarrow -3x+6=-8x-6 \Rightarrow 5x=-12 \Rightarrow x=-12/5 = -2.4$. Так как $-2.4 \le -3/4$, это третий корень.
  Таким образом, при $a=-3/2$ уравнение имеет ровно три корня.
• Если вращать прямую дальше (при $-3/2 < a < 0$), она будет пересекать W-график в четырех точках. Когда прямая опустится до положения оси OX ($a=0$), станет 2 точки пересечения.

Единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет три корня, это когда прямая $y=a(x-2)$ проходит через точку $(0,3)$.

Ответ: $a = -1.5$.