Страница 85 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Степенная функция с натуральным показателем

1. Функция задана формулой $f(x) = x^{18}$. Сравните:

1) $f(3,2)$ и $f(3,6)$;

2) $f(-7,4)$ и $f(-8,3)$;

3) $f(-9,5)$ и $f(9,5)$;

4) $f(-4,1)$ и $f(3,8)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^4 = 2x - 1$;

2) $x^7 = 3 - x$.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-8) < f(-3)$;

2) $f(-8) < f(3)$;

3) $f(-8) > f(-3)$;

4) $f(-8) > f(3)$?

4. Решите уравнение $3x^6 + 4x^{14} = 7$.

1.

1) f(3,2) и f(3,6)
Функция $f(x) = x^{18}$ имеет чётный показатель степени (18), поэтому она возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Поскольку оба аргумента $3,2$ и $3,6$ принадлежат этому промежутку и $3,2 < 3,6$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(3,2) < f(3,6)$.
Ответ: $f(3,2) < f(3,6)$.

2) f(–7,4) и f(–8,3)
На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $f(x) = x^{18}$ убывает. Поскольку оба аргумента $-7,4$ и $-8,3$ принадлежат этому промежутку и $-8,3 < -7,4$, то для значений функции будет выполняться обратное неравенство: $f(-8,3) > f(-7,4)$.
Ответ: $f(-7,4) < f(-8,3)$.

3) f(–9,5) и f(9,5)
Функция $f(x) = x^{18}$ является чётной, так как показатель степени 18 — чётное число. По определению чётной функции, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, $f(-9,5) = f(9,5)$.
Ответ: $f(-9,5) = f(9,5)$.

4) f(–4,1) и f(3,8)
Так как функция $f(x) = x^{18}$ чётная, то $f(-4,1) = (-4,1)^{18} = 4,1^{18}$. Нам нужно сравнить $f(-4,1) = 4,1^{18}$ и $f(3,8) = 3,8^{18}$. Поскольку на промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает и $4,1 > 3,8$, то $4,1^{18} > 3,8^{18}$. Таким образом, $f(-4,1) > f(3,8)$.
Ответ: $f(-4,1) > f(3,8)$.

2.

1) –x⁴ = 2x – 1
Чтобы определить количество корней, построим в одной системе координат графики функций $y = -x^4$ и $y = 2x - 1$. График $y = -x^4$ — это парабола четвёртой степени, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. График $y = 2x - 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(0.5, 0)$. При схематическом построении видно, что прямая пересекает параболу в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

2) x⁷ = 3 – x
Построим в одной системе координат графики функций $y = x^7$ и $y = 3 - x$. График $y = x^7$ — это степенная функция, которая является строго возрастающей на всей своей области определения. График $y = 3 - x$ — это прямая, которая является строго убывающей. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли пересечение: при $x=1$ имеем $1^7 = 1$ и $3-1 = 2$ (график $y=x^7$ ниже), а при $x=2$ имеем $2^7=128$ и $3-2=1$ (график $y=x^7$ выше). Так как обе функции непрерывны, они обязательно пересекутся в одной точке. Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: 1 корень.

3.

1) f(–8) < f(–3)
Неравенство $(-8)^n < (-3)^n$. Если $n$ — чётное, то функция $f(x)=x^n$ убывает на $(-\infty; 0]$. Тогда из $-8 < -3$ следовало бы, что $f(-8) > f(-3)$, что противоречит условию. Если $n$ — нечётное, то функция возрастает на всей числовой оси, и из $-8 < -3$ следует $f(-8) < f(-3)$, что соответствует условию. Значит, $n$ — нечётное.
Ответ: нечётным.

2) f(–8) < f(3)
Неравенство $(-8)^n < 3^n$. Если $n$ — чётное, то $(-8)^n = 8^n$, и неравенство становится $8^n < 3^n$, что неверно, так как $8>3$. Если $n$ — нечётное, то $(-8)^n = -8^n$, и неравенство $-8^n < 3^n$ является верным, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Значит, $n$ — нечётное.
Ответ: нечётным.

3) f(–8) > f(–3)
Неравенство $(-8)^n > (-3)^n$. Если $n$ — чётное, то, как было показано в пункте 1, из $-8 < -3$ следует $f(-8) > f(-3)$, что соответствует условию. Если $n$ — нечётное, то из $-8 < -3$ следует $f(-8) < f(-3)$, что противоречит условию. Значит, $n$ — чётное.
Ответ: чётным.

4) f(–8) > f(3)
Неравенство $(-8)^n > 3^n$. Если $n$ — чётное, то оно принимает вид $8^n > 3^n$, что верно для любого натурального $n$, так как $8>3$. Если $n$ — нечётное, то неравенство становится $-8^n > 3^n$, что неверно. Значит, $n$ — чётное.
Ответ: чётным.

4.

Дано уравнение $3x^6 + 4x^{14} = 7$. Проверим, являются ли корнями числа $1$ и $-1$. При $x = 1$: $3(1)^6 + 4(1)^{14} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7$. Равенство верное, $x=1$ — корень. При $x = -1$: $3(-1)^6 + 4(-1)^{14} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7$. Равенство верное, $x=-1$ — корень. Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^6 + 4x^{14}$. Найдем ее производную: $f'(x) = 18x^5 + 56x^{13} = 2x^5(9 + 28x^8)$. Так как $x^8 \ge 0$, выражение в скобках $9 + 28x^8$ всегда положительно. Поэтому знак производной зависит только от знака $x^5$: - При $x > 0$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает. - При $x < 0$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго убывает. Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ функция строго возрастает, она может принимать значение $7$ только один раз. Мы уже нашли этот корень: $x=1$. Аналогично, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция строго убывает и также может принимать значение $7$ только один раз. Этот корень $x=-1$. При $x=0$, $f(0)=0 \neq 7$. Других корней у уравнения нет.
Ответ: $x = \pm 1$.

Самостоятельная работа № 10

Степенная функция с целым показателем

1. Дана функция $f(x) = x^{-18}$. Сравните:

1) $f(1,2)$ и $f(3,1)$;

2) $f(-3,6)$ и $f(-2,7)$;

3) $f(-7,6)$ и $f(7,6)$;

4) $f(-21)$ и $f(8)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x}-4)^0$;

2) $y = (x^{-1})^{-2}$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-5} \\ y = -x + 3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -x^{-6} \\ y = -\sqrt{x} + 4 \end{cases}$

4. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^n$, если:

1) $f(-12) < f(-10)$;

2) $f(-12) < f(10)$;

3) $f(-12) > f(-10)$;

4) $f(-12) > f(10)$?

1. Дана функция $f(x) = x^{-18}$.

1) Сравните $f(1,2)$ и $f(3,1)$.

Функция $f(x) = x^{-18} = \frac{1}{x^{18}}$. Показатель степени $-18$ — чётное число. Для положительных значений аргумента ($x > 0$) функция убывает, так как с ростом $x$ знаменатель $x^{18}$ увеличивается, а значение дроби уменьшается. Поскольку $1,2 < 3,1$, то из свойства убывающей функции следует, что $f(1,2) > f(3,1)$.

Ответ: $f(1,2) > f(3,1)$.

2) Сравните $f(-3,6)$ и $f(-2,7)$.

Для отрицательных значений аргумента ($x < 0$) функция $f(x) = x^{-18}$ возрастает. Так как $-3,6 < -2,7$, то из свойства возрастающей функции следует, что $f(-3,6) < f(-2,7)$.

Ответ: $f(-3,6) < f(-2,7)$.

3) Сравните $f(-7,6)$ и $f(7,6)$.

Функция $f(x) = x^{-18}$ является чётной, так как показатель степени $-18$ — чётное число. Для чётной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, $f(-7,6) = f(7,6)$.

Ответ: $f(-7,6) = f(7,6)$.

4) Сравните $f(-21)$ и $f(8)$.

Так как функция чётная, $f(-21) = f(21)$. Теперь необходимо сравнить $f(21)$ и $f(8)$. Оба аргумента положительны. На промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает. Поскольку $21 > 8$, то $f(21) < f(8)$. Следовательно, $f(-21) < f(8)$.

Ответ: $f(-21) < f(8)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x}-4)^0$.

Выражение $a^0$ равно 1 для любого $a \neq 0$. Следовательно, $y = 1$ при условии, что основание степени не равно нулю. Найдём область определения функции. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 4 \neq 0$, что означает $\sqrt{x} \neq 4$, то есть $x \neq 16$. Таким образом, область определения функции: $x \in [0, 16) \cup (16, +\infty)$.
Графиком функции является луч $y=1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вправо, с выколотой точкой при $x=16$.

Ответ: График — луч $y=1$ с началом в точке $(0,1)$ и выколотой точкой $(16,1)$.

2) $y = (x^{-1})^{-2}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим выражение: $y = x^{(-1) \cdot (-2)} = x^2$. Однако, необходимо учесть область определения исходной функции. Внутренняя функция $x^{-1}$ определена при $x \neq 0$. Таким образом, область определения итоговой функции: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Графиком функции является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой в вершине $(0,0)$.

Ответ: График — парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(0,0)$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-5} \\ y = -x + 3 \end{cases}$

Для определения количества решений построим эскизы графиков обеих функций в одной системе координат.

• График функции $y = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.
• График функции $y = -x + 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Рассмотрим пересечения. При $x > 0$ ветвь гиперболы находится в I четверти. Прямая также проходит через I четверть (при $0 < x < 3$). На промежутке $(0, \infty)$ функция $y=x^{-5}$ непрерывна и убывает от $+\infty$ до $0$. Прямая $y=-x+3$ также убывает. В точке $x=1$ имеем $y_{гип}=1$, $y_{пр}=2$. В точке $x=2$ имеем $y_{гип}=1/32$, $y_{пр}=1$. Так как на интервале $(1, 2)$ значения одной функции стали меньше, а другой остались больше, они пересеклись. Поскольку обе функции убывают, они могут пересечься только один раз. При $x < 0$ ветвь гиперболы находится в III четверти ($y < 0$), а прямая — во II четверти ($y > 0$), поэтому пересечений нет. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1 решение.

2) $\begin{cases} y = -x^{-6} \\ y = -\sqrt{x} + 4 \end{cases}$

Построим эскизы графиков обеих функций.

• График функции $y = -x^{-6} = -\frac{1}{x^6}$ симметричен относительно оси Oy и расположен в III и IV координатных четвертях.
• График функции $y = -\sqrt{x} + 4$ определен только при $x \ge 0$. Он начинается в точке $(0, 4)$, убывает и пересекает ось Ox в точке $(16, 0)$.

Поскольку вторая функция определена только для $x \ge 0$, нас интересуют пересечения только в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
При $x \in [0, 16]$ значения функции $y = -\sqrt{x} + 4$ неотрицательны ($y \ge 0$), в то время как значения функции $y = -x^{-6}$ строго отрицательны ($y < 0$). На этом интервале пересечений нет.
При $x > 16$ обе функции принимают отрицательные значения. Функция $y_1 = -x^{-6}$ возрастает на $(0, +\infty)$ (от $-\infty$ к 0), а функция $y_2 = -\sqrt{x} + 4$ убывает на всей области определения. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Так как в точке $x=16$ имеем $y_1(16) < y_2(16)$ (где $y_1 < 0$ и $y_2 = 0$), а при $x \to +\infty$ имеем $y_1 \to 0$ и $y_2 \to -\infty$ (то есть $y_1$ станет больше $y_2$), то одно пересечение обязательно существует. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1 решение.

4. Чётным или нечётным является натуральное число n в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

Проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ в зависимости от чётности натурального числа $n$:

• Если $n$ — чётное, то функция $f(x)$ чётная ($f(-x)=f(x)$), возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$.
• Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)$ нечётная ($f(-x)=-f(x)$), убывает на $(-\infty, 0)$ и на $(0, +\infty)$.

1) $f(-12) < f(-10)$

Аргументы $-12$ и $-10$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. Так как $-12 < -10$, а $f(-12) < f(-10)$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$. Это свойство выполняется, когда $n$ — чётное число.

Ответ: $n$ — чётное.

2) $f(-12) < f(10)$

Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное, то $f(-12) = f(12)$. Неравенство принимает вид $f(12) < f(10)$. Поскольку на $(0, +\infty)$ функция убывает и $12 > 10$, то $f(12) < f(10)$ — это верное утверждение.
- Если $n$ — нечётное, то $f(-12) = -f(12)$. Неравенство принимает вид $-f(12) < f(10)$. Для $x > 0$ значения $f(x)$ положительны, поэтому $f(12)>0$ и $f(10)>0$. Неравенство $-(\text{положительное число}) < (\text{положительное число})$ всегда верно.
Таким образом, данное неравенство выполняется для любого натурального $n$. Определить чётность $n$ на основании этого условия невозможно.

Ответ: Определить чётность невозможно.

3) $f(-12) > f(-10)$

Аргументы $-12$ и $-10$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. Так как $-12 < -10$, а $f(-12) > f(-10)$, это означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$. Это свойство выполняется, когда $n$ — нечётное число.

Ответ: $n$ — нечётное.

4) $f(-12) > f(10)$

Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное, то $f(-12) = f(12)$. Неравенство принимает вид $f(12) > f(10)$. Но на $(0, +\infty)$ функция убывает, и так как $12 > 10$, должно быть $f(12) < f(10)$. Следовательно, это утверждение ложно.
- Если $n$ — нечётное, то $f(-12) = -f(12)$. Неравенство принимает вид $-f(12) > f(10)$. Это равносильно $f(10) + f(12) < 0$. Но для $x > 0$ значения $f(x)$ положительны, поэтому $f(10) > 0$ и $f(12) > 0$. Сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной. Это утверждение также ложно.
Таким образом, данное неравенство не может выполняться ни для какого натурального $n$.

Ответ: Такое натуральное число $n$ не существует.