Страница 80 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 46

Построение графиков функций

1. Сколько корней имеет уравнение $\frac{1}{4}x^3 - 3x = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

2. Постройте график функции $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 16}$.

1.

Для определения количества корней уравнения $ \frac{1}{4}x^3 - 3x = a $ в зависимости от параметра $ a $, мы исследуем функцию $ f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x $ и найдем количество точек пересечения её графика с горизонтальной прямой $ y = a $.

1. Найдем производную функции $ f(x) $:
$ f'(x) = (\frac{1}{4}x^3 - 3x)' = \frac{1}{4} \cdot 3x^2 - 3 = \frac{3}{4}x^2 - 3 $.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$ \frac{3}{4}x^2 - 3 = 0 $
$ \frac{3}{4}x^2 = 3 $
$ x^2 = 4 $
$ x_1 = -2 $, $ x_2 = 2 $.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:

• При $ x < -2 $, $ f'(x) > 0 $, функция возрастает.
• При $ -2 < x < 2 $, $ f'(x) < 0 $, функция убывает.
• При $ x > 2 $, $ f'(x) > 0 $, функция возрастает.

Таким образом, $ x = -2 $ является точкой локального максимума, а $ x = 2 $ - точкой локального минимума.

4. Найдем значения функции в точках экстремума:
Значение в точке максимума:
$ y_{max} = f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^3 - 3(-2) = \frac{1}{4}(-8) + 6 = -2 + 6 = 4 $.
Значение в точке минимума:
$ y_{min} = f(2) = \frac{1}{4}(2)^3 - 3(2) = \frac{1}{4}(8) - 6 = 2 - 6 = -4 $.

5. Проанализируем количество корней уравнения в зависимости от значения $ a $:
Количество корней уравнения $ f(x) = a $ равно количеству точек пересечения графика $ y = f(x) $ и прямой $ y = a $.

• Если прямая $ y = a $ проходит выше локального максимума ($ a > 4 $) или ниже локального минимума ($ a < -4 $), то будет одна точка пересечения.
• Если прямая $ y = a $ касается графика в точках экстремума ($ a = 4 $ или $ a = -4 $), то будет две точки пересечения.
• Если прямая $ y = a $ проходит между максимумом и минимумом ($ -4 < a < 4 $), то будет три точки пересечения.

Ответ:

• При $ |a| > 4 $ (то есть $ a \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty) $) уравнение имеет 1 корень.
• При $ |a| = 4 $ (то есть $ a = -4 $ или $ a = 4 $) уравнение имеет 2 корня.
• При $ |a| < 4 $ (то есть $ a \in (-4, 4) $) уравнение имеет 3 корня.

2.

Для построения графика функции $ f(x) = \frac{8x}{x^2 + 16} $ проведем полное исследование функции.

1. Область определения.
Знаменатель $ x^2 + 16 > 0 $ при любых $ x $. Следовательно, область определения функции - все действительные числа: $ D(f) = (-\infty, +\infty) $.

2. Четность и симметрия.
$ f(-x) = \frac{8(-x)}{(-x)^2 + 16} = \frac{-8x}{x^2 + 16} = -f(x) $. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
При $ x = 0 $, $ f(0) = 0 $. График проходит через начало координат $ (0, 0) $.
При $ f(x) = 0 $, $ \frac{8x}{x^2 + 16} = 0 \implies 8x = 0 \implies x = 0 $. Единственная точка пересечения с осями - $ (0, 0) $.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как знаменатель никогда не равен нулю.
Найдем горизонтальные асимптоты:
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{8x}{x^2 + 16} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{8/x}{1 + 16/x^2} = \frac{0}{1} = 0 $. Следовательно, $ y = 0 $ (ось Ox) - горизонтальная асимптота.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.
Найдем первую производную:
$ f'(x) = \frac{(8x)'(x^2 + 16) - 8x(x^2 + 16)'}{(x^2 + 16)^2} = \frac{8(x^2 + 16) - 8x(2x)}{(x^2 + 16)^2} = \frac{8x^2 + 128 - 16x^2}{(x^2 + 16)^2} = \frac{128 - 8x^2}{(x^2 + 16)^2} $.
Найдем критические точки: $ f'(x) = 0 \implies 128 - 8x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $.

• При $ x \in (-\infty, -4) $, $ f'(x) < 0 $, функция убывает.
• При $ x \in (-4, 4) $, $ f'(x) > 0 $, функция возрастает.
• При $ x \in (4, \infty) $, $ f'(x) < 0 $, функция убывает.

$ x = -4 $ - точка локального минимума. $ f(-4) = \frac{8(-4)}{(-4)^2 + 16} = \frac{-32}{32} = -1 $. Точка минимума $ (-4, -1) $.
$ x = 4 $ - точка локального максимума. $ f(4) = \frac{8(4)}{4^2 + 16} = \frac{32}{32} = 1 $. Точка максимума $ (4, 1) $.

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости.
Найдем вторую производную:
$ f''(x) = \left(\frac{128 - 8x^2}{(x^2 + 16)^2}\right)' = \frac{-16x(x^2+16)^2 - (128-8x^2) \cdot 2(x^2+16) \cdot 2x}{(x^2+16)^4} = \frac{-16x(x^2+16) - 4x(128-8x^2)}{(x^2+16)^3} = \frac{-16x^3 - 256x - 512x + 32x^3}{(x^2+16)^3} = \frac{16x^3 - 768x}{(x^2+16)^3} = \frac{16x(x^2 - 48)}{(x^2+16)^3} $.
Найдем точки, где $ f''(x) = 0 \implies 16x(x^2 - 48) = 0 \implies x = 0 $ или $ x = \pm\sqrt{48} = \pm4\sqrt{3} $.

• При $ x \in (-\infty, -4\sqrt{3}) $, $ f''(x) < 0 $, график выпуклый вверх (вогнутый).
• При $ x \in (-4\sqrt{3}, 0) $, $ f''(x) > 0 $, график выпуклый вниз (выпуклый).
• При $ x \in (0, 4\sqrt{3}) $, $ f''(x) < 0 $, график выпуклый вверх (вогнутый).
• При $ x \in (4\sqrt{3}, \infty) $, $ f''(x) > 0 $, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точки перегиба: $ x = 0, x = \pm 4\sqrt{3} $. $ f(0) = 0 $, $ f(4\sqrt{3}) = \frac{8(4\sqrt{3})}{(4\sqrt{3})^2+16} = \frac{32\sqrt{3}}{48+16} = \frac{32\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Точки перегиба: $ (-4\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) $, $ (0, 0) $, $ (4\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}) $.

Ответ: Для построения графика нужно отметить следующие ключевые точки и свойства:

• График симметричен относительно начала координат $ (0, 0) $.
• Ось $ Ox $ ($ y=0 $) является горизонтальной асимптотой.
• Точка локального минимума: $ (-4, -1) $.
• Точка локального максимума: $ (4, 1) $.
• Точки перегиба: $ (-4\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx (-6.9, -0.87) $, $ (0, 0) $, $ (4\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx (6.9, 0.87) $.
• График начинается из-под оси $ Ox $ слева, убывает до точки минимума, затем возрастает, проходит через начало координат, достигает точки максимума и затем асимптотически приближается к оси $ Ox $ сверху, убывая.