Страница 77 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 3}$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x + 6$, которая параллельна прямой $y = 4x + 7$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + 3$, проходящей через точку C (1; 3).

1. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{x-3}{x^2-3}$ и точка $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = \frac{-2-3}{(-2)^2-3} = \frac{-5}{4-3} = -5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-3)'(x^2-3) - (x-3)(x^2-3)'}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-3) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 6x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 3}{(x^2-3)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(-2) = \frac{-(-2)^2 + 6(-2) - 3}{((-2)^2-3)^2} = \frac{-4 - 12 - 3}{(4-3)^2} = \frac{-19}{1^2} = -19$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = -2$, $f(x_0) = -5$ и $f'(x_0) = -19$ в уравнение касательной:

$y = -5 + (-19)(x - (-2))$

$y = -5 - 19(x + 2)$

$y = -5 - 19x - 38$

$y = -19x - 43$.

Ответ: $y = -19x - 43$.

2. Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 6$ и прямая $y = 4x + 7$.

Условие параллельности касательной и прямой $y = 4x + 7$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 7$ равен $k = 4$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 6)' = 2x - 4$.

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту данной прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 4$

$2x_0 - 4 = 4$

$2x_0 = 8$

$x_0 = 4$.

3. Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 4$ в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0) = f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 6 = 16 - 16 + 6 = 6$.

Точка касания имеет координаты $(4; 6)$.

4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$ с известными значениями $x_0 = 4$, $y_0 = 6$ и $k = 4$:

$y = 6 + 4(x - 4)$

$y = 6 + 4x - 16$

$y = 4x - 10$.

Ответ: $y = 4x - 10$.

3. Дана функция $f(x) = -x^2 + 3$ и точка $C(1; 3)$, через которую проходит касательная.

Сначала проверим, лежит ли точка $C$ на графике функции: $f(1) = -1^2 + 3 = 2$. Так как $f(1) = 2 \neq 3$, точка $C$ не является точкой касания.

Пусть $(x_0; y_0)$ — точка касания. Тогда $y_0 = f(x_0) = -x_0^2 + 3$.

Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 3)' = -2x$.

2. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = -2x_0$.

3. Подставим $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:

$y = (-x_0^2 + 3) + (-2x_0)(x - x_0)$

$y = -x_0^2 + 3 - 2x_0x + 2x_0^2$

$y = -2x_0x + x_0^2 + 3$.

4. Так как касательная проходит через точку $C(1; 3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=1$ и $y=3$:

$3 = -2x_0(1) + x_0^2 + 3$

$3 = -2x_0 + x_0^2 + 3$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$.

Отсюда получаем две возможные абсциссы точек касания: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$.

5. Найдем уравнения для каждого случая.

Случай 1: $x_0 = 0$.

Подставим $x_0=0$ в общее уравнение касательной $y = -2x_0x + x_0^2 + 3$:

$y = -2(0)x + 0^2 + 3 \implies y = 3$.

Случай 2: $x_0 = 2$.

Подставим $x_0=2$ в общее уравнение касательной:

$y = -2(2)x + 2^2 + 3 \implies y = -4x + 4 + 3 \implies y = -4x + 7$.

Таким образом, существует две касательные к графику функции, проходящие через точку $C(1; 3)$.

Ответ: $y = 3$ и $y = -4x + 7$.

Самостоятельная работа № 42

Признаки возрастания и убывания функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x + \frac{2}{x}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}$;

3) $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}x$.

2. На рисунке 20 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки возрастания функции $f$.

Рис. 20

3. Решите уравнение $x^7 + 7x = \sin 6x$.

4. При каких значениях параметра $a$ функция $f(x)=\frac{1}{3}(a-1)x^3+3x^2-7x-8$ убывает на $R$?

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x + \frac{2}{x}$ найдем ее производную.
1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Производная функции: $f'(x) = (x + 2x^{-1})' = 1 - 2x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{x^2 - 2}{x^2} = 0$. Так как $x \neq 0$, то $x^2 - 2 = 0$, откуда $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.
4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; 0)$, $(0; \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -\sqrt{2})$: $f'(-2) = 1 - \frac{2}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-\sqrt{2}; 0)$: $f'(-1) = 1 - \frac{2}{(-1)^2} = 1 - 2 = -1 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; \sqrt{2})$: $f'(1) = 1 - \frac{2}{1^2} = -1 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(\sqrt{2}; +\infty)$: $f'(2) = 1 - \frac{2}{2^2} = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает.
Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$, а убывает на промежутках $[-\sqrt{2}; 0)$ и $(0; \sqrt{2}]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$, убывает на $[-\sqrt{2}; 0)$ и $(0; \sqrt{2}]$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}$:
1. Найдем область определения: $x^2 + 6x \geq 0 \implies x(x+6) \geq 0$. Решением неравенства является объединение промежутков $D(f) = (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.
2. Найдем производную: $f'(x) = (\sqrt{x^2 + 6x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+6x}} \cdot (x^2+6x)' = \frac{2x+6}{2\sqrt{x^2+6x}} = \frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x}}$.
3. Производная определена при $x^2+6x > 0$, то есть на $(-\infty; -6) \cup (0; +\infty)$. Знак производной зависит от знака числителя $x+3$.
4. Определим знаки производной:
- На интервале $(-\infty; -6)$: $x+3 < 0$, значит $f'(x) < 0$, и функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$: $x+3 > 0$, значит $f'(x) > 0$, и функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -6]$.

3) Для функции $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}x$:
1. Область определения - все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Найдем производную: $f'(x) = (\sin x - \frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$.
3. Функция возрастает, когда $f'(x) \geq 0$, то есть $\cos x - \frac{1}{2} \geq 0 \implies \cos x \geq \frac{1}{2}$.
Решением этого неравенства являются промежутки $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
4. Функция убывает, когда $f'(x) \leq 0$, то есть $\cos x - \frac{1}{2} \leq 0 \implies \cos x \leq \frac{1}{2}$.
Решением этого неравенства являются промежутки $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $f$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ неотрицательна, то есть $f'(x) \geq 0$. На графике это соответствует участкам, где кривая $y=f'(x)$ расположена выше или на оси абсцисс.
Из рисунка 20 видно, что график производной $f'(x)$ находится выше или на оси $x$ на следующих промежутках: $(-\infty; x_1]$, $[x_2; x_3]$ и $[x_4; +\infty)$.
Ответ: промежутки возрастания функции $f$: $(-\infty; x_1]$, $[x_2; x_3]$ и $[x_4; +\infty)$.

3. Рассмотрим уравнение $x^7 + 7x = \sin 6x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^7 + 7x - \sin 6x = 0$.
Введем функцию $F(x) = x^7 + 7x - \sin 6x$. Решение уравнения - это нули данной функции.
Исследуем эту функцию на монотонность с помощью производной:
$F'(x) = (x^7 + 7x - \sin 6x)' = 7x^6 + 7 - 6\cos 6x$.
Оценим значение $F'(x)$. Мы знаем, что $-1 \leq \cos 6x \leq 1$.
Наименьшее значение $F'(x)$ будет при $\cos 6x = 1$: $F'(x)_{min} = 7x^6 + 7 - 6 = 7x^6 + 1$.
Так как $x^6 \geq 0$ для любого $x$, то $7x^6 + 1 \geq 1$.
Следовательно, $F'(x) \geq 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $F(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня.
Проверим значение $x=0$: $F(0) = 0^7 + 7(0) - \sin(0) = 0$.
Таким образом, $x=0$ является единственным решением данного уравнения.
Ответ: $x=0$.

4. Функция $f(x) = \frac{1}{3}(a - 1)x^3 + 3x^2 - 7x - 8$ убывает на всей числовой прямой ($\mathbb{R}$), если ее производная $f'(x) \leq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (a - 1)x^2 + 6x - 7$.
Эта производная является квадратичной функцией. Чтобы она была неположительна для всех $x$, ее график (парабола) должен быть направлен ветвями вниз и находиться не выше оси абсцисс. Это требует выполнения двух условий:
1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным: $a - 1 < 0 \implies a < 1$.
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным (не более одного корня): $D \leq 0$.
$D = 6^2 - 4(a - 1)(-7) = 36 + 28(a - 1) = 36 + 28a - 28 = 28a + 8$.
Решим неравенство $28a + 8 \leq 0$:
$28a \leq -8 \implies a \leq -\frac{8}{28} \implies a \leq -\frac{2}{7}$.
Оба условия ($a < 1$ и $a \leq -\frac{2}{7}$) должны выполняться одновременно. Общим решением является $a \leq -\frac{2}{7}$.
Если $a-1=0$ (т.е. $a=1$), то $f'(x) = 6x-7$, что не является $\leq 0$ для всех $x$.
Ответ: при $a \in (-\infty; -\frac{2}{7}]$.