Страница 70 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $\sin x = b$

1. Решите уравнение:

1) $2\sin \left( 4x + \frac{\pi}{4} \right) - \sqrt{2} = 0$;

2) $\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0$;

3) $\sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8}$;

4) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения:

$4\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0$.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ на промежутке

$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$?

1) $2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$

Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения и разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:

$2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для аргумента синуса имеет вид:

$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$

Теперь выразим $x$. Для этого перенесем $\frac{\pi}{4}$ вправо и разделим все на 4:

$4x = (-1)^k \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства можно представить решение в виде двух серий, рассмотрев случаи четного и нечетного $k$.

1. Если $k = 2n$ (четное), то $x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi (2n)}{4} = \frac{\pi n}{2}$.

2. Если $k = 2n + 1$ (нечетное), то $x = -\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi (2n+1)}{4} = -\frac{2\pi}{16} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0$

Выразим синус из уравнения:

$2\sin(8 - 3x) = -\sqrt{3}$

$\sin(8 - 3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, чтобы упростить выражение в аргументе:

$-\sin(3x - 8) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(3x - 8) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь запишем общее решение для аргумента синуса:

$3x - 8 = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то:

$3x - 8 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

Выразим $x$:

$3x = 8 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

$x = \frac{8}{3} + \frac{(-1)^k \pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{8}{3} + \frac{(-1)^k \pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8}$

Это уравнение вида $\sin(t) = c$, где $t=7x-2$ и $c=\frac{\pi}{8}$.

Для существования решений необходимо, чтобы выполнялось условие $|c| \le 1$. Проверим его:

$|\frac{\pi}{8}| \approx \frac{3.14159}{8} \approx 0.3927 < 1$. Условие выполняется, значит, решения существуют.

Запишем общее решение:

$7x - 2 = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$7x = 2 + (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$

$x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 1$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\cos x + b\sin x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что коэффициенты являются значениями синуса и косинуса известного угла: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим их в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6})\cos x - \sin(\frac{\pi}{6})\sin x = \frac{1}{2}$

Свернем левую часть по формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решения этого простейшего уравнения:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Получаем две серии решений:

1. $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

2. $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2.

Задача: найти наименьший положительный корень уравнения $4\sin(2x + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$.

Сначала решим уравнение относительно $x$.

$4\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$

Общее решение можно записать в виде двух серий. Пусть $\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$.

1) $2x + \frac{\pi}{4} = \alpha + 2\pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \alpha + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2x + \frac{\pi}{4} = \pi - \alpha + 2\pi n \implies 2x = \frac{3\pi}{4} - \alpha + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти наименьший положительный корень, перебирая целые значения $n$. Учтем, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, так как $0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим первую серию $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} + \pi n$:

При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$. Так как $\alpha < \frac{\pi}{6}$, то $\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{12}$. Поскольку $\frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{8}$, значение $x$ отрицательно.

При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{7\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$. Это положительный корень.

Рассмотрим вторую серию $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} + \pi n$:

При $n=0$, $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$. Так как $\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{12} < \frac{3\pi}{8}$, этот корень является положительным.

Сравним найденные положительные корни: $\frac{7\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$ и $\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$.

Очевидно, что $\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} < \frac{7\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, наименьший положительный корень - это $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{4})$.

3.

Рассмотрим уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

2) $\sin x - a = 0 \implies \sin x = a$

Найдем корни каждого уравнения на заданном промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

1. Уравнение $\cos x = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ имеет два корня: $x_1 = -\frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{\pi}{2}$. Эти корни существуют при любом значении параметра $a$.

2. Уравнение $\sin x = a$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ является строго возрастающей и принимает значения от -1 до 1.

- Если $|a| > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней.

- Если $|a| \le 1$, уравнение $\sin x = a$ имеет ровно один корень $x_3 = \arcsin(a)$.

Проанализируем общее количество различных корней в зависимости от $a$.

Случай 1: $|a| > 1$.

Уравнение $\sin x = a$ корней не имеет. Уравнение $\cos x = 0$ имеет 2 корня. Итого: 2 корня.

Случай 2: $|a| \le 1$.

Уравнение $\cos x = 0$ дает 2 корня ($-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$), а уравнение $\sin x = a$ дает 1 корень ($\arcsin(a)$). Нужно проверить, могут ли эти корни совпадать.

- Если $a=1$, то $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$. Этот корень совпадает с одним из корней первого уравнения. Различных корней два: $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$.

- Если $a=-1$, то $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Этот корень также совпадает. Различных корней два: $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$.

- Если $-1 < a < 1$, то $-\frac{\pi}{2} < \arcsin(a) < \frac{\pi}{2}$. Этот корень отличен от $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, получаем три различных корня: $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\arcsin(a)$.

Подведем итог.

Ответ: Если $|a| < 1$, уравнение имеет 3 корня; если $|a| \ge 1$, уравнение имеет 2 корня.

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $ \text{tg } x = b $ и $ \text{ctg } x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} - 4x \right) = -1; $

2) $ 6 \text{tg } \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) - 7 = 0; $

3) $ 3 \text{ctg } \left( 6x - \frac{\pi}{3} \right) - 10 = 0. $

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ \text{tg } \left( 6x + \frac{\pi}{3} \right) = -1. $

3. Сколько корней уравнения $ \text{tg } 2x = \sqrt{3} $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right]? $

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра $ a $ имеет уравнение $ \frac{\text{ctg } x - a}{\text{cos } x + \frac{1}{2}} = 0 $ на промежутке $ (-\pi; 0)? $

1.

1) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = -1$

Это уравнение вида $\text{tg}(y) = b$. Общее решение такого уравнения: $y = \text{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - 4x$ и $b = -1$.

$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, получаем:

$\frac{\pi}{3} - 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$-4x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$-4x = -\frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n$

$-4x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части на -4:

$x = \frac{7\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}$

Так как $n$ может быть любым целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), то $-n$ также пробегает все целые числа. Для упрощения записи можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $6\text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 7 = 0$

Сначала преобразуем уравнение к виду $\text{tg}(y) = b$.

$6\text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 7$

$\text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{7}{6}$

Теперь используем общую формулу решения $y = \text{arctg}(b) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

$2x - \frac{\pi}{4} = \text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \pi n$

Выразим $x$:

$2x = \frac{\pi}{4} + \text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\text{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) - 10 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $\text{ctg}(y) = b$.

$3\text{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = 10$

$\text{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{10}{3}$

Общее решение уравнения $\text{ctg}(y) = b$ имеет вид $y = \text{arcctg}(b) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

$6x - \frac{\pi}{3} = \text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \pi n$

Выразим $x$:

$6x = \frac{\pi}{3} + \text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \pi n$

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2.

Дано уравнение $\text{tg}\left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$.

Найдем общее решение уравнения:

$6x + \frac{\pi}{3} = \text{arctg}(-1) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

$6x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

$6x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$6x = -\frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n$

$6x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$

$x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}$

Теперь найдем наименьший положительный корень. Для этого решим неравенство $x > 0$ относительно $n$.

$-\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi n}{6} > 0$

$\frac{\pi n}{6} > \frac{7\pi}{72}$

Разделим обе части на $\pi$ и умножим на 6:

$n > \frac{7 \cdot 6}{72}$

$n > \frac{42}{72}$

$n > \frac{7}{12}$

Поскольку $n$ должно быть целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 1$.

Подставим $n=1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:

$x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi \cdot 1}{6} = -\frac{7\pi}{72} + \frac{12\pi}{72} = \frac{5\pi}{72}$

Ответ: $\frac{5\pi}{72}$.

3.

Дано уравнение $\text{tg}(2x) = \sqrt{3}$ и промежуток $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

Сначала найдем общее решение уравнения:

$2x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$

Теперь определим, какие из этих корней принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{6} + \frac{n}{2} \le 1$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{6} \le \frac{n}{2} \le 1 - \frac{1}{6}$

$-\frac{3}{6} - \frac{1}{6} \le \frac{n}{2} \le \frac{6}{6} - \frac{1}{6}$

$-\frac{4}{6} \le \frac{n}{2} \le \frac{5}{6}$

$-\frac{2}{3} \le \frac{n}{2} \le \frac{5}{6}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4}{3} \le n \le \frac{10}{6}$

$-1\frac{1}{3} \le n \le 1\frac{2}{3}$

Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.

Таким образом, на заданном промежутке существует 3 корня.

Ответ: 3.

4.

Дано уравнение $\frac{\text{ctg}\,x - a}{\cos x + \frac{1}{2}} = 0$ на промежутке $(-\pi; 0)$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть область определения котангенса.

Это равносильно системе условий:

$\begin{cases} \text{ctg}\,x - a = 0 \\ \cos x + \frac{1}{2} \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ x \in (-\pi; 0) \end{cases}$

Рассмотрим каждое условие на промежутке $(-\pi; 0)$:

1. $\text{ctg}\,x = a$. На интервале $(-\pi; 0)$ функция $y=\text{ctg}\,x$ принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$ по одному разу. Это означает, что для любого значения параметра $a$ уравнение $\text{ctg}\,x = a$ имеет ровно один корень на этом интервале.

2. $\sin x \neq 0$. На интервале $(-\pi; 0)$ синус не обращается в ноль, так что это условие всегда выполнено.

3. $\cos x + \frac{1}{2} \neq 0 \implies \cos x \neq -\frac{1}{2}$. На интервале $(-\pi; 0)$ косинус равен $-\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень должен быть исключен.

Таким образом, исходное уравнение имеет решение, если корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ не совпадает с исключаемым значением $x = -\frac{2\pi}{3}$.

Найдем значение параметра $a$, при котором корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ равен $-\frac{2\pi}{3}$.

$a = \text{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \left(-\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, возможны два случая:

1. Если $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то единственный корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ на интервале $(-\pi; 0)$ это $x = -\frac{2\pi}{3}$. Но при этом значении $x$ знаменатель дроби обращается в ноль, поэтому этот корень является посторонним. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

2. Если $a \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$, то единственный корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ на интервале $(-\pi; 0)$ не равен $-\frac{2\pi}{3}$. Знаменатель при этом корне не равен нулю, следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: если $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то корней нет; если $a \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$, то один корень.