Номер 30, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $\sin x = b$

1. Решите уравнение:

1) $2\sin \left( 4x + \frac{\pi}{4} \right) - \sqrt{2} = 0$;

2) $\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0$;

3) $\sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8}$;

4) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения:

$4\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0$.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ на промежутке

$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$?

1) $2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$

Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения и разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:

$2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для аргумента синуса имеет вид:

$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$

Теперь выразим $x$. Для этого перенесем $\frac{\pi}{4}$ вправо и разделим все на 4:

$4x = (-1)^k \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства можно представить решение в виде двух серий, рассмотрев случаи четного и нечетного $k$.

1. Если $k = 2n$ (четное), то $x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi (2n)}{4} = \frac{\pi n}{2}$.

2. Если $k = 2n + 1$ (нечетное), то $x = -\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi (2n+1)}{4} = -\frac{2\pi}{16} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0$

Выразим синус из уравнения:

$2\sin(8 - 3x) = -\sqrt{3}$

$\sin(8 - 3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, чтобы упростить выражение в аргументе:

$-\sin(3x - 8) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(3x - 8) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь запишем общее решение для аргумента синуса:

$3x - 8 = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то:

$3x - 8 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

Выразим $x$:

$3x = 8 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

$x = \frac{8}{3} + \frac{(-1)^k \pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{8}{3} + \frac{(-1)^k \pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8}$

Это уравнение вида $\sin(t) = c$, где $t=7x-2$ и $c=\frac{\pi}{8}$.

Для существования решений необходимо, чтобы выполнялось условие $|c| \le 1$. Проверим его:

$|\frac{\pi}{8}| \approx \frac{3.14159}{8} \approx 0.3927 < 1$. Условие выполняется, значит, решения существуют.

Запишем общее решение:

$7x - 2 = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:

$7x = 2 + (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$

$x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7} \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 1$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a\cos x + b\sin x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что коэффициенты являются значениями синуса и косинуса известного угла: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим их в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6})\cos x - \sin(\frac{\pi}{6})\sin x = \frac{1}{2}$

Свернем левую часть по формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решения этого простейшего уравнения:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Получаем две серии решений:

1. $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

2. $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2.

Задача: найти наименьший положительный корень уравнения $4\sin(2x + \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$.

Сначала решим уравнение относительно $x$.

$4\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$

Общее решение можно записать в виде двух серий. Пусть $\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$.

1) $2x + \frac{\pi}{4} = \alpha + 2\pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \alpha + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2x + \frac{\pi}{4} = \pi - \alpha + 2\pi n \implies 2x = \frac{3\pi}{4} - \alpha + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти наименьший положительный корень, перебирая целые значения $n$. Учтем, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, так как $0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим первую серию $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} + \pi n$:

При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$. Так как $\alpha < \frac{\pi}{6}$, то $\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{12}$. Поскольку $\frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{8}$, значение $x$ отрицательно.

При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{7\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$. Это положительный корень.

Рассмотрим вторую серию $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} + \pi n$:

При $n=0$, $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$. Так как $\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{12} < \frac{3\pi}{8}$, этот корень является положительным.

Сравним найденные положительные корни: $\frac{7\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$ и $\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$.

Очевидно, что $\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} < \frac{7\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, наименьший положительный корень - это $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{8} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{4})$.

3.

Рассмотрим уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

2) $\sin x - a = 0 \implies \sin x = a$

Найдем корни каждого уравнения на заданном промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

1. Уравнение $\cos x = 0$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ имеет два корня: $x_1 = -\frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{\pi}{2}$. Эти корни существуют при любом значении параметра $a$.

2. Уравнение $\sin x = a$. На промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ является строго возрастающей и принимает значения от -1 до 1.

- Если $|a| > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней.

- Если $|a| \le 1$, уравнение $\sin x = a$ имеет ровно один корень $x_3 = \arcsin(a)$.

Проанализируем общее количество различных корней в зависимости от $a$.

Случай 1: $|a| > 1$.

Уравнение $\sin x = a$ корней не имеет. Уравнение $\cos x = 0$ имеет 2 корня. Итого: 2 корня.

Случай 2: $|a| \le 1$.

Уравнение $\cos x = 0$ дает 2 корня ($-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$), а уравнение $\sin x = a$ дает 1 корень ($\arcsin(a)$). Нужно проверить, могут ли эти корни совпадать.

- Если $a=1$, то $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$. Этот корень совпадает с одним из корней первого уравнения. Различных корней два: $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$.

- Если $a=-1$, то $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Этот корень также совпадает. Различных корней два: $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$.

- Если $-1 < a < 1$, то $-\frac{\pi}{2} < \arcsin(a) < \frac{\pi}{2}$. Этот корень отличен от $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, получаем три различных корня: $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\arcsin(a)$.

Подведем итог.

Ответ: Если $|a| < 1$, уравнение имеет 3 корня; если $|a| \ge 1$, уравнение имеет 2 корня.