Номер 28, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \sin 100^\circ - \sin 40^\circ $

2) $ \cos \left( 3\alpha - \frac{3\pi}{4} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + 3\alpha \right) $

3) $ \cos 2\alpha + \sin \alpha $

4) $ 2\cos \alpha - 1. $

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{7\pi}{24} $

2) $ \sin \alpha \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right). $

3. Докажите тождество:

1) $ \sin 5\alpha \sin \alpha + \cos 7\alpha \cos \alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha $

2) $ \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta. $

1. Преобразуйте в произведение:

1) sin100° - sin40°

Используем формулу разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.

Подставим $ x = 100^\circ $ и $ y = 40^\circ $:

$ \sin 100^\circ - \sin 40^\circ = 2\sin\frac{100^\circ-40^\circ}{2}\cos\frac{100^\circ+40^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{140^\circ}{2} = 2\sin 30^\circ \cos 70^\circ $.

Так как $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 70^\circ = \cos 70^\circ $.

Ответ: $ \cos 70^\circ $.

2) cos(3α - 3π/4) - cos(π/4 + 3α)

Используем формулу разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

Пусть $ x = 3\alpha - \frac{3\pi}{4} $ и $ y = \frac{\pi}{4} + 3\alpha $.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2} = \frac{6\alpha - \frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{6\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = 3\alpha - \frac{\pi}{4} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) - (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{4}}{2} = -\frac{\pi}{2} $.

Подставляем в формулу:

$ -2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4})\sin(-\frac{\pi}{2}) $.

Так как $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $, получаем:

$ -2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4})(-1) = 2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4}) $.

Ответ: $ 2\sin(3\alpha - \frac{\pi}{4}) $.

3) cos2α + sinα

Приведем к одной функции, используя формулу приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:

$ \cos 2\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) $.

Выражение принимает вид: $ \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) + \sin\alpha $.

Используем формулу суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Подставляем $ x = \frac{\pi}{2} - 2\alpha $ и $ y = \alpha $:

$ 2\sin\frac{(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) + \alpha}{2}\cos\frac{(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - \alpha}{2} = 2\sin\frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2} - 3\alpha}{2} = 2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}) $.

Ответ: $ 2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{3\alpha}{2}) $.

4) 2cosα - 1

Представим 1 как $ 2\cos 60^\circ $, так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Выражение принимает вид: $ 2\cos\alpha - 2\cos 60^\circ = 2(\cos\alpha - \cos 60^\circ) $.

Используем формулу разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ 2[-2\sin\frac{\alpha+60^\circ}{2}\sin\frac{\alpha-60^\circ}{2}] = -4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)\sin(\frac{\alpha}{2} - 30^\circ) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, можем записать:

$ -4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)[-\sin(30^\circ - \frac{\alpha}{2})] = 4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)\sin(30^\circ - \frac{\alpha}{2}) $.

Ответ: $ 4\sin(\frac{\alpha}{2} + 30^\circ)\sin(30^\circ - \frac{\alpha}{2}) $.

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) sin(11π/24)sin(7π/24)

Используем формулу произведения синусов: $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

Подставим $ x = \frac{11\pi}{24} $ и $ y = \frac{7\pi}{24} $:

$ \sin\frac{11\pi}{24}\sin\frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}(\cos(\frac{11\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}) - \cos(\frac{11\pi}{24} + \frac{7\pi}{24})) $.

$ = \frac{1}{2}(\cos\frac{4\pi}{24} - \cos\frac{18\pi}{24}) = \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{3\pi}{4}) $.

Это преобразование в сумму. Можно также вычислить значение:

$ \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{3\pi}{4}) $.

2) sinα cos(π/6 - α)

Используем формулу произведения синуса на косинус: $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.

Подставим $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} - \alpha $:

$ \sin\alpha \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + (\frac{\pi}{6} - \alpha)) + \sin(\alpha - (\frac{\pi}{6} - \alpha))) $.

$ = \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{6} + \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})) $.

Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, получаем:

$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

3. Докажите тождество:

1) sin5αsinα + cos7αcosα = cos6αcos2α

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ), используя формулы преобразования произведения в сумму:

$ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $

$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $

ЛЧ = $ \sin 5\alpha \sin\alpha + \cos 7\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha-\alpha) - \cos(5\alpha+\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(7\alpha-\alpha) + \cos(7\alpha+\alpha)) $.

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos 4\alpha - \cos 6\alpha) + \frac{1}{2}(\cos 6\alpha + \cos 8\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha - \cos 6\alpha + \cos 6\alpha + \cos 8\alpha) $.

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 8\alpha) $.

Теперь преобразуем полученную сумму в произведение, используя формулу $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

ЛЧ = $ \frac{1}{2}(2\cos\frac{4\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-4\alpha}{2}) = \cos\frac{12\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha}{2} = \cos 6\alpha \cos 2\alpha $.

Левая часть равна правой части (ПЧ): $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) sin²(α + β) - sin²(α - β) = sin2αsin2β

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ), используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

ЛЧ = $ (\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta))(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

Применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $

$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Для первой скобки ($ x = \alpha+\beta, y = \alpha-\beta $):

$ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\frac{2\beta}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin\beta\cos\alpha $.

Для второй скобки:

$ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta $.

Перемножим результаты:

ЛЧ = $ (2\sin\beta\cos\alpha)(2\sin\alpha\cos\beta) = 4\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta $.

Сгруппируем и применим формулу двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

ЛЧ = $ (2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta $.

Левая часть равна правой части: $ \sin 2\alpha \sin 2\beta = \sin 2\alpha \sin 2\beta $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.