Номер 21, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Периодические функции

1. Найдите значение выражения:

1) $ \cos 390^\circ $;

2) $ \sin \frac{25\pi}{4} $;

3) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{35\pi}{6}\right) $.

2. На рисунке 17 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функции на промежутке $ [-2T; 2T] $ .

Рис. 17

3. Покажите, что число T является периодом функции $ f $ :

1) $ f(x) = \sin \frac{x}{2} $, $ T = 4\pi $;

2) $ f(x) = \operatorname{ctg} \pi x $, $ T = 2 $.

4. Найдите период функции $ f(x) = \operatorname{tg} 4x + \sin \frac{4x}{3} $ .

5. Найдите все значения параметра $ a $ , при которых число $ T = \frac{4\pi}{3} $ является периодом функции $ f(x) = \operatorname{tg} ax $ .

1) cos 390°
Используем периодичность функции косинус, основной период которой равен $360^\circ$. Представим $390^\circ$ в виде $360^\circ + 30^\circ$.
$\cos(390^\circ) = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) sin $\frac{25\pi}{4}$
Используем периодичность функции синус, основной период которой равен $2\pi$. Представим дробь $\frac{25\pi}{4}$ в виде суммы целого числа периодов и угла в пределах от 0 до $2\pi$.
$\frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\sin(\frac{25\pi}{4}) = \sin(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) ctg $(-\frac{35\pi}{6})$
Используем свойство нечетности функции котангенс, то есть $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$, и ее периодичность (основной период равен $\pi$).
$\text{ctg}(-\frac{35\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{35\pi}{6})$.
Представим аргумент $\frac{35\pi}{6}$ как $\frac{36\pi - \pi}{6} = 6\pi - \frac{\pi}{6}$.
$-\text{ctg}(\frac{35\pi}{6}) = -\text{ctg}(6\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -(-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) = \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

a)
Исходный график задан на промежутке $(0, T]$. Для построения графика на промежутке $[-2T, 2T]$ необходимо повторить данный фрагмент, сдвигая его на $T$ влево и вправо.

Ответ: График построен выше.

б)
Исходный график задан на промежутке $[-T/2, T/2]$, который является одним периодом. Для построения графика на промежутке $[-2T, 2T]$ необходимо повторить данный фрагмент, сдвигая его на целое число периодов $T$ влево и вправо.

Ответ: График построен выше.

1) $f(x) = \sin\frac{x}{2}, T = 4\pi$
Число $T$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \sin\frac{x}{2}$ — все действительные числа. Проверим равенство:
$f(x+4\pi) = \sin(\frac{x+4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + 2\pi)$.
Так как $2\pi$ является основным периодом синуса, то $\sin(\frac{x}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{x}{2}) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=4\pi$ является периодом функции.

2) $f(x) = \text{ctg}(\pi x), T = 2$
Область определения функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$ — все действительные числа, кроме $x=k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ не является целым числом, то и $x+2$ не является целым числом, значит $x+T$ принадлежит области определения. Проверим равенство $f(x+T) = f(x)$:
$f(x+2) = \text{ctg}(\pi(x+2)) = \text{ctg}(\pi x + 2\pi)$.
Так как $\pi$ является основным периодом котангенса, то $2\pi = 2 \cdot \pi$ также является его периодом. Поэтому $\text{ctg}(\pi x + 2\pi) = \text{ctg}(\pi x) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $T=2$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=2$ является периодом функции.

4. Найдите период функции $f(x) = \text{tg}(4x) + \sin\frac{4x}{3}$
Период функции, являющейся суммой двух периодических функций, равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
Найдём основной период для каждого слагаемого:
Для $g(x) = \text{tg}(4x)$ основной период $T_1 = \frac{\pi}{|4|} = \frac{\pi}{4}$.
Для $h(x) = \sin(\frac{4x}{3})$ основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|4/3|} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$.
Теперь найдём НОК($T_1, T_2$): $T = \text{НОК}(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.
Ищем наименьшие натуральные числа $k_1$ и $k_2$, для которых $T = k_1 T_1 = k_2 T_2$.
$k_1 \frac{\pi}{4} = k_2 \frac{3\pi}{2} \implies k_1 = 6k_2$.
Наименьшие натуральные значения: $k_2=1$ и $k_1=6$.
Тогда период $T = 1 \cdot T_2 = \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

5. Найдите все значения параметра a, при которых число $T = \frac{4\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \text{tg}(ax)$
Основной (наименьший положительный) период функции $f(x) = \text{tg}(ax)$ равен $T_0 = \frac{\pi}{|a|}$. Любой период $T$ этой функции должен быть кратен основному периоду, то есть $T = k \cdot T_0$ для некоторого целого $k \neq 0$. Так как заданный период $T = \frac{4\pi}{3}$ положителен, можно считать $k$ натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).
Подставим известные значения в равенство $T = k \cdot T_0$:
$\frac{4\pi}{3} = k \cdot \frac{\pi}{|a|}$.
Сократим на $\pi$: $\frac{4}{3} = \frac{k}{|a|}$.
Выразим $|a|$: $|a| = \frac{3k}{4}$.
Следовательно, $a = \pm\frac{3k}{4}$ для любого натурального числа $k$.
Ответ: $a = \pm\frac{3k}{4}$, где $k \in \mathbb{N}$.