Номер 15, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1}$;

2) $\sqrt{5x+1} = 1-x$;

3) $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$;

4) $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2$;

5) $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}} + \sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}} = 6$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1}$.
Так как показатель корня — четное число (16), уравнение равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и неотрицательны.
$x+4 = x^2+5x-1$, при условии $x+4 \geq 0$.
Решим квадратное уравнение:
$x^2+5x-1-x-4 = 0$
$x^2+4x-5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Теперь проверим выполнение условия неотрицательности подкоренного выражения: $x+4 \geq 0$, то есть $x \geq -4$.
Проверим корень $x_1 = 1$:
$1 \geq -4$ (верно).
Проверим корень $x_2 = -5$:
$-5 \geq -4$ (неверно).
Таким образом, корень $x=-5$ является посторонним. Единственное решение — $x=1$.
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{5x+1} = 1-x$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$
В данном случае:
$\begin{cases} 5x+1 = (1-x)^2 \\ 1-x \geq 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$5x+1 = 1-2x+x^2$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x-7) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.
Теперь проверим выполнение неравенства $1-x \geq 0$, то есть $x \leq 1$.
Проверим корень $x_1 = 0$:
$0 \leq 1$ (верно).
Проверим корень $x_2 = 7$:
$7 \leq 1$ (неверно).
Следовательно, корень $x=7$ является посторонним. Единственное решение — $x=0$.
Ответ: $0$.

3) Исходное уравнение: $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2+x-2 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
Теперь решим уравнение:
$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2(x+1)$
$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} - 2(x+1) = 0$
$(x+1)(\sqrt{x^2+x-2} - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x+1=0 \implies x=-1$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-1$ не принадлежит $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Значит, $x=-1$ не является решением.
Случай 2: $\sqrt{x^2+x-2} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2+x-2} = 2$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2+x-2 = 4$
$x^2+x-6 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ:
$x_1=2 \in [1, \infty)$ (входит).
$x_2=-3 \in (-\infty, -2]$ (входит).
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $-3; 2$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+5 \geq 0 \\ x-3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -5 \\ x \geq 3 \end{cases} \implies x \geq 3$.
Перенесем один из корней в правую часть, чтобы избавиться от знака "минус" перед корнем:
$\sqrt{x+5} = 2 + \sqrt{x-3}$
Так как обе части уравнения неотрицательны (при $x \geq 3$), возведение в квадрат является равносильным преобразованием:
$(\sqrt{x+5})^2 = (2 + \sqrt{x-3})^2$
$x+5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + (x-3)$
$x+5 = x+1 + 4\sqrt{x-3}$
$4 = 4\sqrt{x-3}$
$1 = \sqrt{x-3}$
Снова возведем обе части в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-3})^2$
$1 = x-3$
$x=4$.
Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \geq 3$).
Ответ: $4$.

5) Исходное уравнение: $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}} + \sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}} = 6$.
Заметим, что выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов, используя формулу $(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$.
Представим $x+6$ как $(x+5)+1$.
Первое подкоренное выражение: $x+6+2\sqrt{x+5} = (x+5) + 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5}+1)^2$.
Второе подкоренное выражение: $x+6-2\sqrt{x+5} = (x+5) - 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5}-1)^2$.
ОДЗ: $x+5 \geq 0 \implies x \geq -5$.
Подставим полные квадраты в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x+5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+5}-1)^2} = 6$
Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:
$|\sqrt{x+5}+1| + |\sqrt{x+5}-1| = 6$
Так как $\sqrt{x+5} \geq 0$, то $\sqrt{x+5}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x+5}+1| = \sqrt{x+5}+1$.
Уравнение упрощается до: $\sqrt{x+5}+1 + |\sqrt{x+5}-1| = 6$.
Рассмотрим два случая для раскрытия оставшегося модуля.
Случай 1: $\sqrt{x+5}-1 \geq 0 \implies \sqrt{x+5} \geq 1 \implies x+5 \geq 1 \implies x \geq -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = \sqrt{x+5}-1$.
$(\sqrt{x+5}+1) + (\sqrt{x+5}-1) = 6$
$2\sqrt{x+5} = 6$
$\sqrt{x+5} = 3$
$x+5 = 9 \implies x=4$.
Этот корень удовлетворяет условию $x \geq -4$.
Случай 2: $\sqrt{x+5}-1 < 0 \implies \sqrt{x+5} < 1 \implies x+5 < 1 \implies x < -4$.
С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $-5 \leq x < -4$.
В этом случае $|\sqrt{x+5}-1| = -(\sqrt{x+5}-1) = 1-\sqrt{x+5}$.
$(\sqrt{x+5}+1) + (1-\sqrt{x+5}) = 6$
$2 = 6$.
Это неверное равенство, следовательно, в этом интервале решений нет.
Единственным решением является $x=4$.
Ответ: $4$.