Номер 12, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$;

2) $\sqrt[7]{74 \cdot 29} \cdot \sqrt[7]{73 \cdot 25}$;

3) $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$.

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{7\sqrt{b}}$;

2) $\sqrt[28]{n^{16}}$;

3) $\sqrt[18]{d^{26}}$;

4) $3\sqrt[6]{3\sqrt{5}}$;

5) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{24}$;

2) $\sqrt[4]{243}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $-3\sqrt[3]{4}$;

2) $-10\sqrt[4]{0,789}$.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$;

2) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$;

3) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$

Используем свойство произведения корней с одинаковыми показателями $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64}$

Так как $64 = 2^6$, получаем:

$\sqrt[6]{2^6} = 2$

Ответ: $2$

2) $\sqrt[7]{74 \cdot 29} \cdot \sqrt[7]{73 \cdot 25}$

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатку. В таких заданиях обычно предполагается, что числа под корнем можно сгруппировать для упрощения. Вероятный правильный вариант условия: $\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5}$. Решим его.

Используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[7]{7^4 \cdot 2^9} \cdot \sqrt[7]{7^3 \cdot 2^5} = \sqrt[7]{(7^4 \cdot 2^9) \cdot (7^3 \cdot 2^5)}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[7]{7^{4+3} \cdot 2^{9+5}} = \sqrt[7]{7^7 \cdot 2^{14}}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[7]{7^7} \cdot \sqrt[7]{2^{14}} = 7 \cdot \sqrt[7]{(2^2)^7} = 7 \cdot 2^2 = 7 \cdot 4 = 28$

Ответ: $28$

3) $\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}}$

Используем свойство частного корней с одинаковыми показателями $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{243}} = \sqrt[4]{\frac{48}{243}}$

Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3:

$48 = 16 \cdot 3$

$243 = 81 \cdot 3$

$\sqrt[4]{\frac{16 \cdot 3}{81 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}}$

Так как $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$, получаем:

$\sqrt[4]{\frac{2^4}{3^4}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{\sqrt[7]{b}}$

Используем свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[6]{\sqrt[7]{b}} = \sqrt[6 \cdot 7]{b} = \sqrt[42]{b}$

Ответ: $\sqrt[42]{b}$

2) $\sqrt[28]{n^{16}}$

Представим корень в виде степени с дробным показателем и сократим дробь:

$\sqrt[28]{n^{16}} = n^{\frac{16}{28}} = n^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{n^4}$

Ответ: $\sqrt[7]{n^4}$

3) $\sqrt[18]{d^{26}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2:

$\sqrt[18]{d^{26}} = \sqrt[9]{d^{13}}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[9]{d^{13}} = \sqrt[9]{d^9 \cdot d^4} = d\sqrt[9]{d^4}$

Поскольку исходный показатель корня (18) — четное число, подкоренное выражение $d^{26}$ неотрицательно при любом $d$. Чтобы результат был также неотрицательным (по определению арифметического корня), необходимо использовать модуль. $\sqrt[18]{d^{26}} = \sqrt[9]{|d|^{13}} = |d|\sqrt[9]{d^4}$

Ответ: $|d|\sqrt[9]{d^4}$

4) $\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}}$

Внесем множитель 6 под внутренний корень, возведя его в степень 3:

$\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{6^3 \cdot 5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{216 \cdot 5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{1080}}$

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[3 \cdot 3]{1080} = \sqrt[9]{1080}$

Ответ: $\sqrt[9]{1080}$

5) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$

Внесем множитель $p$ под внутренний корень, возведя его в степень 5 (при $p \ge 0$):

$\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^5 \cdot p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^6}}$

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[6 \cdot 5]{p^6} = \sqrt[30]{p^6}$

Сократим показатель корня и показатель степени на 6:

$\sqrt[5]{p}$

Ответ: $\sqrt[5]{p}$

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{24}$

Разложим число 24 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$

Ответ: $2\sqrt[3]{3}$

2) $\sqrt[4]{243}$

Разложим число 243 на множители так, чтобы один из них был четвертой степенью целого числа:

$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$

$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$

Ответ: $3\sqrt[4]{3}$

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $-3\sqrt[3]{4}$

Поскольку показатель корня (3) нечетный, мы можем внести отрицательное число под корень. Возведем -3 в куб:

$-3 = \sqrt[3]{(-3)^3} = \sqrt[3]{-27}$

$-3\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{-27 \cdot 4} = \sqrt[3]{-108}$

Ответ: $\sqrt[3]{-108}$

2) $-10\sqrt[4]{0,789}$

Показатель корня (4) четный, поэтому под знак корня можно вносить только неотрицательное число. Знак "минус" остается перед корнем:

$-10\sqrt[4]{0,789} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0,789}$

$10^4 = 10000$

$-\sqrt[4]{10000 \cdot 0,789} = -\sqrt[4]{7890}$

Ответ: $-\sqrt[4]{7890}$

5. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Тогда числитель можно разложить по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\sqrt{x} - 9 = (\sqrt[4]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)$

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)}{\sqrt[4]{x}+3}$

Сократим на $(\sqrt[4]{x}+3)$, так как это выражение всегда положительно при $x \ge 0$.

$\sqrt[4]{x}-3$

Ответ: $\sqrt[4]{x}-3$

2) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$

Приведем все степени к основанию $\sqrt[6]{x}$. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$ и $x = (\sqrt[6]{x})^6$.

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt[6]{x^2}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x^6}+\sqrt[6]{x^5}} = \frac{\sqrt[6]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[6]{x^5}(\sqrt[6]{x}+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[6]{x}+1)$, при условии $x \ne 0$:

$\frac{\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x^5}} = \sqrt[6]{\frac{x}{x^5}} = \sqrt[6]{\frac{1}{x^4}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

3) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$

Это выражение похоже на формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Пусть $a=\sqrt[3]{x}$ и $b=4$. Тогда:

$a^3 = (\sqrt[3]{x})^3 = x$

$b^3 = 4^3 = 64$

Числитель дроби $x+64$ можно представить как $a^3+b^3$.

Знаменатель дроби: $\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16 = (\sqrt[3]{x})^2 - 4\sqrt[3]{x} + 4^2$, что соответствует выражению $a^2-ab+b^2$.

Тогда вся дробь имеет вид:

$\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2} = a+b$

Подставим обратно значения $a$ и $b$:

$a+b = \sqrt[3]{x}+4$

Ответ: $\sqrt[3]{x}+4$