Номер 8, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \ge 0$

2) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \ge 0$

3) $\frac{x^2 + 2x}{x - 3} \ge \frac{8}{x - 3}$

4) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \le 0$

2. Найдите множество решений неравенства $(x - 4)(x - a)^2 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

1)Решим неравенство $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \ge 0$.
Сначала разложим на множители левую часть:
$x^2 - 10x = x(x - 10)$
$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$
Получаем неравенство: $x(x - 10)(x - 7)(x + 7) \ge 0$.
Найдем нули функции $f(x) = x(x + 7)(x - 7)(x - 10)$. Это точки $x = -7, x = 0, x = 7, x = 10$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на пять интервалов.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x \in (10, +\infty)$, все множители положительны, произведение положительно (+).
- При $x \in (7, 10)$, множитель $(x - 10)$ отрицателен, остальные положительны, произведение отрицательно (-).
- При $x \in (0, 7)$, множители $(x - 10)$ и $(x - 7)$ отрицательны, остальные положительны, произведение положительно (+).
- При $x \in (-7, 0)$, множители $(x - 10)$, $(x - 7)$ и $x$ отрицательны, произведение отрицательно (-).
- При $x \in (-\infty, -7)$, все четыре множителя отрицательны, произведение положительно (+).
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, точки-нули включаются в решение.
Объединяя интервалы со знаком "+", получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [0, 7] \cup [10, +\infty)$.

2)Решим неравенство $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \ge 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 3$ на множители. Его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Тогда $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.
Неравенство принимает вид: $(x + 2)^2(x - 1)(x + 3) \ge 0$.
Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -2$ и положителен при всех остальных $x$.
1. Если $x = -2$, неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$. Следовательно, $x = -2$ является решением.
2. Если $x \ne -2$, то $(x + 2)^2 > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $(x + 2)^2$, знак неравенства не изменится:
$(x - 1)(x + 3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 1$ и $x = -3$.
На числовой оси это соответствует интервалам $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$.
Объединяем решения из обоих случаев: $(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$ и точку $x=-2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup [1, +\infty)$.

3)Решим неравенство $\frac{x^2 + 2x}{x - 3} \ge \frac{8}{x - 3}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} - \frac{8}{x - 3} \ge 0$
$\frac{x^2 + 2x - 8}{x - 3} \ge 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Получаем: $\frac{(x - 2)(x + 4)}{x - 3} \ge 0$.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x = 2, x = -4$ (входят в решение). Нуль знаменателя: $x = 3$ (не входит в решение).
Отметим точки $-4, 2, 3$ на числовой оси.
- При $x \in (3, +\infty)$, выражение положительно.
- При $x \in (2, 3)$, выражение отрицательно.
- При $x \in (-4, 2)$, выражение положительно.
- При $x \in (-\infty, -4)$, выражение отрицательно.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-4, 2] \cup (3, +\infty)$.

4)Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \le 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия подкоренного выражения:
$x^2 + 5x + 4 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, то $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.
В области допустимых значений $\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$.
Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда $\sqrt{x^2 + 5x + 4} = 0$, то есть при $x = -4$ и $x = -1$. В этих точках все выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\le 0$.
2. Когда $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$. В этом случае для выполнения исходного неравенства необходимо, чтобы $x^2 - 5x + 6 \le 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x-3) \le 0$.
Решением этого неравенства является отрезок $[2, 3]$.
Теперь нужно найти пересечение этого решения с ОДЗ:
$[2, 3] \cap ((-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)) = [2, 3]$.
Объединяем решения из обоих случаев: точки $x=-4, x=-1$ и отрезок $[2, 3]$.
Ответ: $x \in \{-4, -1\} \cup [2, 3]$.

2.Найдем множество решений неравенства $(x - 4)(x - a)^2 \ge 0$ в зависимости от параметра $a$.
Выражение $(x - a)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любом $x$.
Рассмотрим два случая:
1. $(x - a)^2 = 0$, то есть $x = a$.
При $x=a$ неравенство принимает вид $(a - 4)(a - a)^2 \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное равенство, значит $x = a$ всегда является решением неравенства при любом значении параметра $a$.
2. $(x - a)^2 > 0$, то есть $x \ne a$.
В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x - a)^2$, не меняя знака неравенства:
$x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.
Таким образом, все $x$ из промежутка $[4, +\infty)$, не равные $a$, являются решениями.
Объединяя оба случая, получаем, что множество решений есть $\{a\} \cup [4, +\infty)$.
Теперь рассмотрим, как это множество выглядит в зависимости от значения $a$:
- Если $a < 4$, то точка $a$ не принадлежит промежутку $[4, +\infty)$, и решение представляет собой объединение изолированной точки и промежутка.
- Если $a \ge 4$, то точка $a$ уже принадлежит промежутку $[4, +\infty)$, и ее добавление не меняет множество.
Ответ: Если $a < 4$, то $x \in \{a\} \cup [4, +\infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in [4, +\infty)$.