Номер 2, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Конечные и бесконечные множества

1. Докажите, что множество точек сторон квадрата и множество точек вписанной в этот квадрат окружности равномощны.

2. Каких натуральных чисел больше: шестизначных чисел или чётных семизначных чисел, кратных числу 5?

3. В 10 классе 25 учеников. Все ученики этого класса приняли участие в школьной олимпиаде по математике или по физике. Известно, что в обеих олимпиадах приняли участие 10 учеников. Докажите, что хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников этого класса.

4. Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 8, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 3.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, необходимо установить между ними биективное (взаимно однозначное) соответствие. Пусть $A$ — множество точек на сторонах квадрата, а $B$ — множество точек на вписанной в него окружности.

Рассмотрим квадрат и вписанную в него окружность. Поместим центр квадрата и окружности в начало координат $O(0,0)$. Для любой точки $P$, принадлежащей множеству $A$ (на стороне квадрата), мы можем провести луч, начинающийся в центре $O$ и проходящий через точку $P$. Этот луч пересечёт окружность ровно в одной точке $Q$.

Таким образом, мы можем определить отображение $f: A \to B$, которое каждой точке $P$ на квадрате ставит в соответствие точку $Q$ на окружности, лежащую на луче $OP$.

Докажем, что это отображение является биекцией:

1. Инъективность (взаимная однозначность): Если мы возьмём две различные точки $P_1$ и $P_2$ на сторонах квадрата, то лучи $OP_1$ и $OP_2$ будут различны. Следовательно, они пересекут окружность в двух разных точках $Q_1$ и $Q_2$. Таким образом, разным точкам на квадрате соответствуют разные точки на окружности.
2. Сюръективность (отображение "на"): Для любой точки $Q$ на окружности мы можем провести луч $OQ$. Этот луч обязательно пересечёт стороны квадрата в некоторой точке $P$. Это означает, что для любой точки на окружности найдётся соответствующая ей точка на квадрате.

Поскольку мы построили биективное отображение между множеством точек сторон квадрата и множеством точек вписанной окружности, эти два множества равномощны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Для ответа на вопрос сравним количество чисел в каждой из двух групп.

1. Количество шестизначных натуральных чисел.

Шестизначные числа — это числа от 100 000 до 999 999 включительно. Их общее количество можно найти так: $999\,999 - 100\,000 + 1 = 900\,000$.
Или с помощью комбинаторики: первая цифра может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), а каждая из следующих пяти цифр — любой от 0 до 9 (10 вариантов). Всего чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^5 = 900\,000$.

2. Количество чётных семизначных чисел, кратных числу 5.

Число кратно 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число является чётным, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Чтобы число было одновременно и чётным, и кратным 5, его последняя цифра должна быть 0.

Следовательно, нам нужно посчитать количество семизначных чисел, которые заканчиваются на 0.
Первая цифра не может быть нулём, значит, для неё есть 9 вариантов (от 1 до 9).
Следующие пять цифр (со второй по шестую) могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов на каждую позицию).
Последняя, седьмая, цифра должна быть 0 (1 вариант).
Всего таких чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 9 \times 10^5 = 900\,000$.

Сравнивая результаты, получаем, что количество шестизначных чисел (900 000) равно количеству чётных семизначных чисел, кратных 5 (900 000).

Ответ: Количество этих чисел одинаково.

Пусть $M$ — множество учеников, участвовавших в олимпиаде по математике, а $P$ — множество учеников, участвовавших в олимпиаде по физике. Обозначим количество учеников в этих множествах как $|M|$ и $|P|$ соответственно.

По условию, в классе 25 учеников, и все приняли участие хотя бы в одной олимпиаде. Это означает, что объединение множеств $M$ и $P$ содержит 25 учеников: $|M \cup P| = 25$.

Также известно, что в обеих олимпиадах приняли участие 10 учеников. Это пересечение множеств: $|M \cap P| = 10$.

Используем формулу включений-исключений для двух множеств: $|M \cup P| = |M| + |P| - |M \cap P|$

Подставим известные значения: $25 = |M| + |P| - 10$

Отсюда найдём суммарное количество участников обеих олимпиад: $|M| + |P| = 25 + 10 = 35$

Нам нужно доказать, что хотя бы в одном из множеств ($M$ или $P$) не менее 18 учеников, то есть $|M| \ge 18$ или $|P| \ge 18$.

Докажем это методом от противного. Предположим, что в каждой из олимпиад участвовало меньше 18 учеников. То есть: $|M| \le 17$ и $|P| \le 17$.

В этом случае максимальная возможная сумма участников была бы: $|M| + |P| \le 17 + 17 = 34$.

Однако мы ранее вычислили, что $|M| + |P| = 35$. Получаем противоречие: $35 \le 34$, что является ложным утверждением. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Значит, утверждение о том, что в каждой олимпиаде участвовало меньше 18 учеников, ложно. Это доказывает, что хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, нужно построить между ними биекцию (взаимно однозначное соответствие).

Пусть $A$ — множество натуральных чисел, кратных числу 8. Элементы этого множества имеют вид $8k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$). $A = \{8, 16, 24, 32, \dots, 8k, \dots\}$

Пусть $B$ — множество натуральных чисел, кратных числу 3. Элементы этого множества имеют вид $3k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$). $B = \{3, 6, 9, 12, \dots, 3k, \dots\}$

Определим функцию $f: A \to B$, которая каждому элементу из множества $A$ ставит в соответствие элемент из множества $B$ по следующему правилу: $f(8k) = 3k$.

Например, $f(8) = 3$, $f(16) = 6$, $f(24) = 9$ и так далее.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность: Пусть $a_1$ и $a_2$ — два разных элемента из $A$. Тогда $a_1 = 8k_1$ и $a_2 = 8k_2$ для некоторых $k_1 \ne k_2$. Применяя функцию, получаем $f(a_1) = 3k_1$ и $f(a_2) = 3k_2$. Поскольку $k_1 \ne k_2$, то и $3k_1 \ne 3k_2$. Таким образом, разным элементам из $A$ соответствуют разные элементы из $B$.
2. Сюръективность: Возьмём произвольный элемент $b$ из множества $B$. Он имеет вид $b = 3k$ для некоторого натурального $k$. Мы должны показать, что существует элемент $a \in A$, для которого $f(a) = b$. Рассмотрим элемент $a = 8k$. Он принадлежит множеству $A$. По нашему правилу, $f(a) = f(8k) = 3k$, что в точности равно $b$. Таким образом, для любого элемента из $B$ найдётся прообраз в $A$.

Так как мы построили биекцию между множествами $A$ и $B$, эти множества равномощны.

Ответ: Что и требовалось доказать.