Номер 1, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Множества. Операции над множествами

1. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${ \{8\} \subset \{4, 6, 8\} }$;

2) ${ 8 \subset \{4, 6, 8\} }$;

3) ${ 4 \in \{4, 6, 8\} }$;

4) ${ \{4\} \in \{4, 6, 8\} }$;

5) ${ \emptyset \subset \{4, 6, 8\} }$;

6) ${ \{\emptyset\} \in \{4, 6, 8\} }$?

2. Какие из следующих утверждений верны:

1) ${ \{0\} \cup \{0, 9\} = \{\{0, 9\}\} }$;

2) ${ \{0\} \cup \{0, 9\} = \{0, 9\} }$;

3) ${ \{0\} \cap \{0, 9\} = \{9\} }$;

4) ${ \{0\} \cap \{0, 9\} = \{0\} }$?

3. Даны множества ${ A = \{x | x^2 - 36 = 0\} }$ и ${ B = \{x | (x - 6)(x + 10) = 0\} }$. Найдите:

1) ${ A \cap B }$;

2) ${ A \cup B }$;

3) ${ A \setminus B }$;

4) ${ B \setminus A }$.

4. На диаграмме Эйлера (рис. 15) изображены множества ${A, B}$ и ${C}$. Заштрихуйте множество:

1) ${ (C \cup B) \cap A }$;

2) ${ (A \cup C) \setminus B }$;

3) ${ (B \setminus A) \cap C }$.

Рис. 15

1.

Проанализируем каждое утверждение:

1) $\{8\} \subset \{4, 6, 8\}$ — Верно. Множество, содержащее элемент 8, является подмножеством множества $\{4, 6, 8\}$, так как все элементы первого множества (а именно, число 8) содержатся во втором.

2) $8 \subset \{4, 6, 8\}$ — Неверно. Символ $\subset$ используется для обозначения отношения между множествами (подмножество). Число 8 является элементом, а не множеством. Правильная запись была бы $8 \in \{4, 6, 8\}$.

3) $4 \in \{4, 6, 8\}$ — Верно. Число 4 является элементом множества $\{4, 6, 8\}$.

4) $\{4\} \in \{4, 6, 8\}$ — Неверно. Элементами множества $\{4, 6, 8\}$ являются числа 4, 6 и 8, но не множество $\{4\}$.

5) $\emptyset \subset \{4, 6, 8\}$ — Верно. Пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством любого множества.

6) $\{\emptyset\} \in \{4, 6, 8\}$ — Неверно. Множество, содержащее пустое множество, не является элементом множества $\{4, 6, 8\}$.

Ответ: Верными являются утверждения 1, 3, 5.

2.

Проанализируем каждое утверждение:

1) $\{0\} \cup \{0, 9\} = \{\{0, 9\}\}$ — Неверно. Объединение множеств $\{0\}$ и $\{0, 9\}$ — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств без повторений, то есть $\{0, 9\}$. Выражение справа — это множество, содержащее другое множество, что не является результатом объединения.

2) $\{0\} \cup \{0, 9\} = \{0, 9\}$ — Верно. Объединение этих двух множеств дает множество, состоящее из уникальных элементов обоих множеств, что и есть $\{0, 9\}$.

3) $\{0\} \cap \{0, 9\} = \{9\}$ — Неверно. Пересечение множеств — это множество, содержащее только общие для них элементы. Общим элементом является 0. Таким образом, пересечение равно $\{0\}$.

4) $\{0\} \cap \{0, 9\} = \{0\}$ — Верно. Единственный общий элемент для обоих множеств — это 0.

Ответ: Верными являются утверждения 2, 4.

3.

Сначала найдем элементы множеств A и B.

Для множества A: $A = \{x | x^2 - 36 = 0\}$.
Решаем уравнение: $x^2 = 36 \implies x = \sqrt{36}$ или $x = -\sqrt{36}$.
Получаем $x = 6$ и $x = -6$.
Таким образом, $A = \{-6, 6\}$.

Для множества B: $B = \{x | (x - 6)(x + 10) = 0\}$.
Решаем уравнение: $x - 6 = 0$ или $x + 10 = 0$.
Получаем $x = 6$ и $x = -10$.
Таким образом, $B = \{-10, 6\}$.

Теперь выполним операции над множествами:

1) $A \cap B$ (Пересечение A и B)
Это множество элементов, которые принадлежат и A, и B. Сравнивая $A = \{-6, 6\}$ и $B = \{-10, 6\}$, видим, что общий элемент — это 6.
Ответ: $A \cap B = \{6\}$.

2) $A \cup B$ (Объединение A и B)
Это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Объединяем все элементы из A и B без повторений.
Ответ: $A \cup B = \{-10, -6, 6\}$.

3) $A \setminus B$ (Разность A и B)
Это множество элементов, которые принадлежат A, но не принадлежат B. Из $A = \{-6, 6\}$ удаляем элементы, которые есть в $B = \{-10, 6\}$. Удаляем 6.
Ответ: $A \setminus B = \{-6\}$.

4) $B \setminus A$ (Разность B и A)
Это множество элементов, которые принадлежат B, но не принадлежат A. Из $B = \{-10, 6\}$ удаляем элементы, которые есть в $A = \{-6, 6\}$. Удаляем 6.
Ответ: $B \setminus A = \{-10\}$.

4.

1) $(C \cup B) \cap A$
Выражение означает пересечение множества A с объединением множеств C и B. Сначала находим объединение B и C (вся область, занимаемая кругами B и C). Затем из этой области выбираем ту часть, которая также находится внутри круга A. В результате будет заштрихована вся область множества A, которая пересекается с B или C.
Ответ: Заштриховать нужно область, состоящую из пересечения $A \cap B$ и пересечения $A \cap C$ (включая центральную область $A \cap B \cap C$).

2) $(A \cup C) \setminus B$
Выражение означает разность между объединением множеств A и C и множеством B. Сначала находим объединение A и C (вся область, занимаемая кругами A и C). Затем из этой объединенной области нужно "вырезать" (исключить) все, что принадлежит множеству B.
Ответ: Заштриховать нужно ту часть круга A, которая не пересекается с B, ту часть круга C, которая не пересекается с B, и ту часть их общего пересечения ($A \cap C$), которая не пересекается с B.

3) $(B \setminus A) \cap C$
Выражение означает пересечение множества C с разностью множеств B и A. Сначала находим разность $B \setminus A$ (область круга B, которая не пересекается с кругом A). Затем из полученной области нужно выбрать ту часть, которая также принадлежит множеству C.
Ответ: Заштриховать нужно область пересечения B и C, из которой исключена центральная область пересечения всех трех множеств ($A \cap B \cap C$).