Номер 45, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1) $y = (4x + 3)^3$

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((4x + 3)^3)' = 3(4x + 3)^{3-1} \cdot (4x + 3)' = 3(4x + 3)^2 \cdot 4 = 12(4x + 3)^2$.

Теперь найдем вторую производную, дифференцируя первую:

$y'' = (12(4x + 3)^2)' = 12 \cdot 2(4x + 3)^{2-1} \cdot (4x + 3)' = 24(4x + 3) \cdot 4 = 96(4x + 3) = 384x + 288$.

Ответ: $y'' = 384x + 288$.

2) $y = (x + 3)^2 \cos x$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x + 3)^2)' \cos x + (x + 3)^2 (\cos x)' = 2(x + 3) \cos x - (x + 3)^2 \sin x$.

Для нахождения второй производной дифференцируем первую производную, применяя правило произведения к каждому слагаемому:

$y'' = (2(x + 3) \cos x)' - ((x + 3)^2 \sin x)'$

$y'' = [(2(x+3))'\cos x + 2(x+3)(\cos x)'] - [((x+3)^2)'\sin x + (x+3)^2(\sin x)']$

$y'' = [2\cos x + 2(x+3)(-\sin x)] - [2(x+3)\sin x + (x+3)^2\cos x]$

$y'' = 2\cos x - 2(x+3)\sin x - 2(x+3)\sin x - (x+3)^2\cos x$

Сгруппируем слагаемые:

$y'' = (2 - (x+3)^2)\cos x - 4(x+3)\sin x = (2 - (x^2 + 6x + 9))\cos x - (4x + 12)\sin x = (-x^2 - 6x - 7)\cos x - (4x + 12)\sin x$.

Ответ: $y'' = (-x^2 - 6x - 7)\cos x - (4x + 12)\sin x$.

Закон движения тела: $s(t) = t^3 - 4t - 2$.

Масса тела $m = 3$ кг.

Сила, действующая на тело, вычисляется по второму закону Ньютона: $F(t) = ma(t)$, где $a(t)$ — ускорение тела.

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 4t - 2)' = 3t^2 - 4$.

Ускорение тела $a(t)$ является второй производной от перемещения $s(t)$ или первой производной от скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4)' = 6t$.

Найдем ускорение в момент времени $t = 4$ с:

$a(4) = 6 \cdot 4 = 24$ м/с$^2$.

Теперь найдем силу, действующую на тело в этот момент времени:

$F(4) = m \cdot a(4) = 3 \cdot 24 = 72$ Н.

Ответ: $72$ Н.

1) $y = x^2 + \sqrt{x-1}$

1. Область определения функции: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. $D(y) = [1, +\infty)$.

2. Найдем вторую производную функции. Сначала найдем первую производную:

$y' = (x^2 + (x-1)^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Теперь найдем вторую производную:

$y'' = (2x + \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2})' = 2 + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})(x-1)^{-3/2} = 2 - \frac{1}{4(x-1)\sqrt{x-1}}$.

3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

$y''$ не существует при $x=1$, что является границей области определения.

Приравняем $y''$ к нулю: $2 - \frac{1}{4(x-1)^{3/2}} = 0 \Rightarrow 2 = \frac{1}{4(x-1)^{3/2}} \Rightarrow 8(x-1)^{3/2} = 1 \Rightarrow (x-1)^{3/2} = \frac{1}{8}$.

Возведем обе части в степень 2/3: $x-1 = (\frac{1}{8})^{2/3} = (\sqrt[3]{\frac{1}{8}})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

$x = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

4. Определим знаки второй производной на интервалах $(1, 5/4)$ и $(5/4, +\infty)$.

На интервале $(1, 5/4)$, например при $x = 1.1$, $y'' = 2 - \frac{1}{4(0.1)^{3/2}} < 0$, функция выпукла (направлена выпуклостью вверх).

На интервале $(5/4, +\infty)$, например при $x = 2$, $y'' = 2 - \frac{1}{4(1)^{3/2}} = 2 - \frac{1}{4} > 0$, функция вогнута (направлена выпуклостью вниз).

5. В точке $x = 5/4$ происходит смена знака второй производной, следовательно, это точка перегиба.

Найдем ординату точки перегиба: $y(\frac{5}{4}) = (\frac{5}{4})^2 + \sqrt{\frac{5}{4}-1} = \frac{25}{16} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{25}{16} + \frac{1}{2} = \frac{25+8}{16} = \frac{33}{16}$.

Ответ: функция выпукла (вверх) на промежутке $(1, 5/4]$, вогнута (выпукла вниз) на промежутке $[5/4, +\infty)$, точка перегиба $(\frac{5}{4}, \frac{33}{16})$.

2) $y = x^{11} + 11x^{10} - 7x - 8$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем вторую производную функции.

$y' = 11x^{10} + 110x^9 - 7$.

$y'' = 110x^9 + 990x^8$.

3. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю.

$y'' = 110x^8(x + 9) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -9$.

4. Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, -9)$, $(-9, 0)$ и $(0, +\infty)$.

На интервале $(-\infty, -9)$, например при $x=-10$: $y'' = 110(-10)^8(-10+9) < 0$, функция выпукла (вверх).

На интервале $(-9, 0)$, например при $x=-1$: $y'' = 110(-1)^8(-1+9) > 0$, функция вогнута (вниз).

На интервале $(0, +\infty)$, например при $x=1$: $y'' = 110(1)^8(1+9) > 0$, функция вогнута (вниз).

5. Знак второй производной меняется только в точке $x = -9$. Следовательно, это точка перегиба. В точке $x=0$ смены знака не происходит.

Найдем ординату точки перегиба: $y(-9) = (-9)^{11} + 11(-9)^{10} - 7(-9) - 8 = -9 \cdot 9^{10} + 11 \cdot 9^{10} + 63 - 8 = 9^{10}(-9+11) + 55 = 2 \cdot 9^{10} + 55$.

Ответ: функция выпукла (вверх) на промежутке $(-\infty, -9]$, вогнута (выпукла вниз) на промежутке $[-9, +\infty)$, точка перегиба $(-9, 2 \cdot 9^{10} + 55)$.