Номер 41, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+1}{3-x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 5x + 8$, которая параллельна прямой $y = -3x + 5$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 1$, проходящей через точку $B (-1; -1)$.

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x + 1}{3 - x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = \frac{2 + 1}{3 - 2^2} = \frac{3}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$.
Точка касания имеет координаты $(2; -3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = (\frac{x + 1}{3 - x^2})' = \frac{(x+1)'(3-x^2) - (x+1)(3-x^2)'}{(3-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (3-x^2) - (x+1)(-2x)}{(3-x^2)^2} = \frac{3-x^2 + 2x^2 + 2x}{(3-x^2)^2} = \frac{x^2 + 2x + 3}{(3-x^2)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, которое равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 + 3}{(3 - 2^2)^2} = \frac{4 + 4 + 3}{(3 - 4)^2} = \frac{11}{(-1)^2} = 11$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=-3$ и $f'(x_0)=11$ в уравнение касательной:
$y = -3 + 11(x - 2)$
$y = -3 + 11x - 22$
$y = 11x - 25$.

Ответ: $y = 11x - 25$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 5x + 8$, которая параллельна прямой $y = -3x + 5$.

Условие параллельности касательной и прямой $y = -3x + 5$ означает, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = -3x + 5$ равен $-3$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Следовательно, нам нужно найти такую точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = -3$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 5x + 8)' = 2x - 5$.

2. Приравняем производную к $-3$ и найдем абсциссу точки касания $x_0$:
$2x_0 - 5 = -3$
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$.

3. Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 1$ в исходную функцию:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 - 5(1) + 8 = 1 - 5 + 8 = 4$.

4. Составим уравнение касательной, используя точку касания $(1; 4)$ и угловой коэффициент $k = -3$:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 4 + (-3)(x - 1)$
$y = 4 - 3x + 3$
$y = -3x + 7$.

Ответ: $y = -3x + 7$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 1$, проходящей через точку B $(-1; -1)$.

Сначала проверим, лежит ли точка B на графике функции $f(x)$:
$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $f(-1) = 0 \neq -1$, точка B не является точкой касания.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Уравнение касательной в этой точке имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

2. Запишем уравнение касательной в общем виде через $x_0$:
$f(x_0) = x_0^2 - 1$
$f'(x_0) = 2x_0$
$y = (x_0^2 - 1) + 2x_0(x - x_0)$
$y = x_0^2 - 1 + 2x_0x - 2x_0^2$
$y = 2x_0x - x_0^2 - 1$.

3. Так как касательная проходит через точку B $(-1; -1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = -1$ и $y = -1$ в полученное уравнение:
$-1 = 2x_0(-1) - x_0^2 - 1$
$-1 = -2x_0 - x_0^2 - 1$
$x_0^2 + 2x_0 = 0$
$x_0(x_0 + 2) = 0$.

4. Решив это уравнение, находим возможные абсциссы точек касания: $x_{0,1} = 0$ и $x_{0,2} = -2$. Это означает, что через точку B можно провести две касательные к графику функции.

5. Найдем уравнения этих касательных, подставляя найденные значения $x_0$ в общее уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 - 1$:
- При $x_0 = 0$:
$y = 2(0)x - 0^2 - 1 \implies y = -1$.
- При $x_0 = -2$:
$y = 2(-2)x - (-2)^2 - 1 \implies y = -4x - 4 - 1 \implies y = -4x - 5$.

Ответ: $y = -1$ и $y = -4x - 5$.