Номер 34, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x; $

2) $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x; $

3) $ \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1; $

4) $ \cos 3x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right); $

5) $ \cos \frac{2x}{3} + \cos 2x = 2. $

1) Исходное уравнение: $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x $.

Применим формулу суммы синусов к левой части уравнения: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \sin \frac{8x + 2x}{2} \cos \frac{8x - 2x}{2} = \sqrt{2} \cos 3x $

$ 2 \sin 5x \cos 3x = \sqrt{2} \cos 3x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:

$ 2 \sin 5x \cos 3x - \sqrt{2} \cos 3x = 0 $

$ \cos 3x (2 \sin 5x - \sqrt{2}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

а) $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ 2 \sin 5x - \sqrt{2} = 0 $

$ \sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ 5x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ 5x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x $.

Перенесем $ \sin 5x $ в левую часть: $ \sin 3x \cos 2x - \sin 5x = 0 $.

Представим $ \sin 5x $ как $ \sin(3x+2x) $ и применим формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin 3x \cos 2x - (\sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x) = 0 $

$ \sin 3x \cos 2x - \sin 3x \cos 2x - \cos 3x \sin 2x = 0 $

$ -\cos 3x \sin 2x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1 $.

Используем формулы понижения степени: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.

$ \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} = 1 $

Умножим обе части на 2:

$ 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x = 2 $

$ 2 - (\cos 4x + \cos 6x) = 2 $

$ \cos 4x + \cos 6x = 0 $

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \cos \frac{6x + 4x}{2} \cos \frac{6x - 4x}{2} = 0 $

$ 2 \cos 5x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos 5x = 0 $

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если в первой серии взять $ k = 2 + 5n $, то $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi(2+5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Поэтому достаточно оставить только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ \cos 3x = 2 \sin(\frac{3\pi}{2} - x) $.

Применим формулу приведения для правой части: $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $.

Уравнение принимает вид:

$ \cos 3x = -2 \cos x $

Используем формулу тройного угла для косинуса: $ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha $.

$ 4\cos^3 x - 3\cos x = -2 \cos x $

$ 4\cos^3 x - \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (4\cos^2 x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ 4\cos^2 x - 1 = 0 $

$ \cos^2 x = \frac{1}{4} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2} $

Если $ \cos x = \frac{1}{2} $, то $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Если $ \cos x = -\frac{1}{2} $, то $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

5) Исходное уравнение: $ \cos \frac{2x}{3} + \cos 2x = 2 $.

Это уравнение решается методом оценки, используя свойство ограниченности функции косинус. Область значений функции косинус - отрезок $ [-1; 1] $. То есть $ \cos \alpha \le 1 $ для любого $ \alpha $.

В левой части уравнения имеем сумму двух косинусов, для каждого из которых справедливо:

$ \cos \frac{2x}{3} \le 1 $

$ \cos 2x \le 1 $

Следовательно, их сумма $ \cos \frac{2x}{3} + \cos 2x \le 1 + 1 = 2 $. Равенство достигается только в том случае, когда каждое слагаемое равно своему максимальному значению, то есть 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \cos \frac{2x}{3} = 1 \\ \cos 2x = 1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \cos \frac{2x}{3} = 1 \implies \frac{2x}{3} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Решим второе уравнение системы:

$ \cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем пересечение множеств решений. Решениями системы будут значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Множество решений первого уравнения $ \{..., -6\pi, -3\pi, 0, 3\pi, 6\pi, ...\} $ является подмножеством множества решений второго уравнения $ \{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, ...\} $, так как любое число вида $ 3\pi k $ можно представить в виде $ \pi n $, взяв $ n = 3k $. Следовательно, решением системы является множество $ x = 3\pi k $.

Ответ: $ x = 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.