Страница 46 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 33

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Решите уравнение:

1) $5\cos 14x + \cos 7x - 4 = 0;$

2) $\frac{1}{\cos^2 4x} - 6\mathrm{tg}4x + 7 = 0;$

3) $4\sin\frac{x}{3} - 7\cos\frac{x}{3} = 0;$

4) $3\sin^2 \frac{x}{5} - 7\sin\frac{x}{5}\cos\frac{x}{5} + 4\cos^2 \frac{x}{5} = 0;$

5) $2\sin 3x + 5\cos 3x = 2;$

6) $\sqrt{\cos 2x} = \cos x.$

1) Дано уравнение $5\cos14x + \cos7x - 4 = 0$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. В нашем случае $\alpha = 7x$, поэтому $\cos14x = 2\cos^2(7x) - 1$. Подставим это в исходное уравнение: $5(2\cos^2(7x) - 1) + \cos7x - 4 = 0$ $10\cos^2(7x) - 5 + \cos7x - 4 = 0$ $10\cos^2(7x) + \cos7x - 9 = 0$ Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos7x$, где $-1 \le t \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $10t^2 + t - 9 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 1 + 360 = 361 = 19^2$. Найдем корни: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 19}{20}$. $t_1 = \frac{-1 - 19}{20} = \frac{-20}{20} = -1$. $t_2 = \frac{-1 + 19}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$. Оба корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$. Вернемся к замене: 1. $\cos7x = -1 \Rightarrow 7x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$. 2. $\cos7x = \frac{9}{10} \Rightarrow 7x = \pm\arccos\frac{9}{10} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{7}\arccos\frac{9}{10} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, x = \pm\frac{1}{7}\arccos\frac{9}{10} + \frac{2\pi k}{7}, n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\frac{1}{\cos^2 4x} - 6\text{tg}4x + 7 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos4x \neq 0$, что эквивалентно $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Подставим в уравнение: $(1 + \text{tg}^2(4x)) - 6\text{tg}(4x) + 7 = 0$ $\text{tg}^2(4x) - 6\text{tg}(4x) + 8 = 0$ Сделаем замену. Пусть $t = \text{tg}(4x)$. $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$. Возвращаемся к замене: 1. $\text{tg}(4x) = 2 \Rightarrow 4x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\text{arctg}(2) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$. 2. $\text{tg}(4x) = 4 \Rightarrow 4x = \text{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\text{arctg}(4) + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{4}\text{arctg}(2) + \frac{\pi n}{4}, x = \frac{1}{4}\text{arctg}(4) + \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $4\sin\frac{x}{3} - 7\cos\frac{x}{3} = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, так как если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin\frac{x}{3} = 0$, что невозможно, так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Разделим обе части уравнения на $\cos\frac{x}{3}$: $4\frac{\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} - 7\frac{\cos\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} = 0$ $4\text{tg}\frac{x}{3} - 7 = 0$ $4\text{tg}\frac{x}{3} = 7$ $\text{tg}\frac{x}{3} = \frac{7}{4}$ $\frac{x}{3} = \text{arctg}\frac{7}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = 3\text{arctg}\frac{7}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 3\text{arctg}\frac{7}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $3\sin^2\frac{x}{5} - 7\sin\frac{x}{5}\cos\frac{x}{5} + 4\cos^2\frac{x}{5} = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Аналогично предыдущему пункту, $\cos\frac{x}{5} \neq 0$. Если $\cos\frac{x}{5} = 0$, то уравнение примет вид $3\sin^2\frac{x}{5} = 0$, откуда $\sin\frac{x}{5} = 0$, что невозможно. Разделим обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{5}$: $3\frac{\sin^2\frac{x}{5}}{\cos^2\frac{x}{5}} - 7\frac{\sin\frac{x}{5}\cos\frac{x}{5}}{\cos^2\frac{x}{5}} + 4\frac{\cos^2\frac{x}{5}}{\cos^2\frac{x}{5}} = 0$ $3\text{tg}^2\frac{x}{5} - 7\text{tg}\frac{x}{5} + 4 = 0$ Сделаем замену. Пусть $t = \text{tg}\frac{x}{5}$. $3t^2 - 7t + 4 = 0$. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. $t = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}$. $t_1 = \frac{7-1}{6} = 1$. $t_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Возвращаемся к замене: 1. $\text{tg}\frac{x}{5} = 1 \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2. $\text{tg}\frac{x}{5} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{x}{5} = \text{arctg}\frac{4}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 5\text{arctg}\frac{4}{3} + 5\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 5\pi n, x = 5\text{arctg}\frac{4}{3} + 5\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано уравнение $2\sin3x + 5\cos3x = 2$. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $t = \text{tg}\frac{3x}{2}$. Тогда $\sin3x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos3x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Подставим в уравнение: $2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 2$ Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$: $4t + 5(1-t^2) = 2(1+t^2)$ $4t + 5 - 5t^2 = 2 + 2t^2$ $7t^2 - 4t - 3 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 = 10^2$. $t = \frac{4 \pm 10}{14}$. $t_1 = \frac{4+10}{14} = \frac{14}{14} = 1$. $t_2 = \frac{4-10}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$. Возвращаемся к замене: 1. $\text{tg}\frac{3x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. 2. $\text{tg}\frac{3x}{2} = -\frac{3}{7} \Rightarrow \frac{3x}{2} = \text{arctg}(-\frac{3}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 3x = -2\text{arctg}\frac{3}{7} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\text{arctg}\frac{3}{7} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$. (Примечание: универсальная подстановка не работает для случаев, когда $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2}+\pi m$, т.е. $3x = \pi + 2\pi m$. Проверка показывает, что эти значения не являются решениями исходного уравнения: $2\sin(\pi + 2\pi m) + 5\cos(\pi + 2\pi m) = 2(0) + 5(-1) = -5 \neq 2$).
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, x = -\frac{2}{3}\text{arctg}\frac{3}{7} + \frac{2\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение $\sqrt{\cos2x} = \cos x$. Данное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \cos2x = (\cos x)^2 \end{cases}$ Решим второе уравнение системы: $\cos2x = \cos^2 x$ Используя формулу $\cos2x = 2\cos^2x - 1$, получаем: $2\cos^2x - 1 = \cos^2x$ $\cos^2x = 1$ Отсюда $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$. Теперь проверим эти решения по условию $\cos x \ge 0$. 1. Если $\cos x = 1$, то условие $1 \ge 0$ выполняется. Решением уравнения $\cos x = 1$ является $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2. Если $\cos x = -1$, то условие $-1 \ge 0$ не выполняется. Следовательно, это посторонний корень. Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x; $

2) $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x; $

3) $ \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1; $

4) $ \cos 3x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right); $

5) $ \cos \frac{2x}{3} + \cos 2x = 2. $

1) Исходное уравнение: $ \sin 2x + \sin 8x = \sqrt{2} \cos 3x $.

Применим формулу суммы синусов к левой части уравнения: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \sin \frac{8x + 2x}{2} \cos \frac{8x - 2x}{2} = \sqrt{2} \cos 3x $

$ 2 \sin 5x \cos 3x = \sqrt{2} \cos 3x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos 3x $ за скобки:

$ 2 \sin 5x \cos 3x - \sqrt{2} \cos 3x = 0 $

$ \cos 3x (2 \sin 5x - \sqrt{2}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

а) $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ 2 \sin 5x - \sqrt{2} = 0 $

$ \sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ 5x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ 5x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin 3x \cos 2x = \sin 5x $.

Перенесем $ \sin 5x $ в левую часть: $ \sin 3x \cos 2x - \sin 5x = 0 $.

Представим $ \sin 5x $ как $ \sin(3x+2x) $ и применим формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin 3x \cos 2x - (\sin 3x \cos 2x + \cos 3x \sin 2x) = 0 $

$ \sin 3x \cos 2x - \sin 3x \cos 2x - \cos 3x \sin 2x = 0 $

$ -\cos 3x \sin 2x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos 3x = 0 $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ \sin^2 2x + \sin^2 3x = 1 $.

Используем формулы понижения степени: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.

$ \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} = 1 $

Умножим обе части на 2:

$ 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x = 2 $

$ 2 - (\cos 4x + \cos 6x) = 2 $

$ \cos 4x + \cos 6x = 0 $

Применим формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \cos \frac{6x + 4x}{2} \cos \frac{6x - 4x}{2} = 0 $

$ 2 \cos 5x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos 5x = 0 $

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Если в первой серии взять $ k = 2 + 5n $, то $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi(2+5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n $. Поэтому достаточно оставить только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ \cos 3x = 2 \sin(\frac{3\pi}{2} - x) $.

Применим формулу приведения для правой части: $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $.

Уравнение принимает вид:

$ \cos 3x = -2 \cos x $

Используем формулу тройного угла для косинуса: $ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha $.

$ 4\cos^3 x - 3\cos x = -2 \cos x $

$ 4\cos^3 x - \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (4\cos^2 x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $ \cos x = 0 $

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

б) $ 4\cos^2 x - 1 = 0 $

$ \cos^2 x = \frac{1}{4} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2} $

Если $ \cos x = \frac{1}{2} $, то $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Если $ \cos x = -\frac{1}{2} $, то $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \text{ где } m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

5) Исходное уравнение: $ \cos \frac{2x}{3} + \cos 2x = 2 $.

Это уравнение решается методом оценки, используя свойство ограниченности функции косинус. Область значений функции косинус - отрезок $ [-1; 1] $. То есть $ \cos \alpha \le 1 $ для любого $ \alpha $.

В левой части уравнения имеем сумму двух косинусов, для каждого из которых справедливо:

$ \cos \frac{2x}{3} \le 1 $

$ \cos 2x \le 1 $

Следовательно, их сумма $ \cos \frac{2x}{3} + \cos 2x \le 1 + 1 = 2 $. Равенство достигается только в том случае, когда каждое слагаемое равно своему максимальному значению, то есть 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \cos \frac{2x}{3} = 1 \\ \cos 2x = 1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \cos \frac{2x}{3} = 1 \implies \frac{2x}{3} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Решим второе уравнение системы:

$ \cos 2x = 1 \implies 2x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем пересечение множеств решений. Решениями системы будут значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Множество решений первого уравнения $ \{..., -6\pi, -3\pi, 0, 3\pi, 6\pi, ...\} $ является подмножеством множества решений второго уравнения $ \{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, ...\} $, так как любое число вида $ 3\pi k $ можно представить в виде $ \pi n $, взяв $ n = 3k $. Следовательно, решением системы является множество $ x = 3\pi k $.

Ответ: $ x = 3\pi k, k \in \mathbb{Z} $.