Страница 45 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $tg \, x = b$ и $ctg \, x = b$

1. Решите уравнение:

1) $tg \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1$;

2) $8tg \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0$;

3) $2ctg \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0$.

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$ctg \left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.

3. Сколько решений уравнения

$tg \, 3x = 1$

принадлежат промежутку

$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$

имеет уравнение

$\frac{tg \, x - a}{\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$

на промежутке

$\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$?

1) Решим уравнение $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Аргумент тангенса равен арктангенсу от 1 плюс период тангенса, умноженный на целое число $n$.
$\frac{\pi}{6} - 2x = \arctan(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$:
$-2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$-2x = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + \pi n$
$-2x = \frac{\pi}{12} + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0$.
Сначала выразим тангенс:
$8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 3$
$\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{8}$
Теперь решаем как простейшее тригонометрическое уравнение:
$4x - \frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$:
$4x = \frac{\pi}{4} + \arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0$.
Выразим котангенс:
$2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = 5$
$\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{2}$
Теперь решаем как простейшее тригонометрическое уравнение:
$5x - \frac{\pi}{3} = \operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$:
$5x = \frac{\pi}{3} + \operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем наибольший отрицательный корень уравнения $\operatorname{ctg}\left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.
Сначала найдем общее решение уравнения.
$8x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$8x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$
$8x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$8x = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + \pi n$
$8x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8}$
Теперь найдем наибольший отрицательный корень. Для этого решим неравенство $x < 0$.
$\frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8} < 0$
Разделим обе части на $\pi$: $\frac{5}{96} + \frac{n}{8} < 0$
$\frac{n}{8} < -\frac{5}{96}$
$n < -\frac{5 \cdot 8}{96}$
$n < -\frac{40}{96}$
$n < -\frac{5}{12}$
Поскольку $n$ — целое число, наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = -1$.
Подставим $n = -1$ в формулу для $x$:
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi (-1)}{8} = \frac{5\pi}{96} - \frac{12\pi}{96} = -\frac{7\pi}{96}$.
Ответ: $-\frac{7\pi}{96}$.

3. Найдем количество решений уравнения $\operatorname{tg}(3x) = 1$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Сначала решим уравнение:
$3x = \arctan(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$
Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку, решив двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{12} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$
Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:
$-\frac{1}{2} - \frac{1}{12} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{12}$
$-\frac{7}{12} \le \frac{n}{3} \le \frac{5}{12}$
Умножим все части на 3:
$-\frac{21}{12} \le n \le \frac{15}{12}$
$-1.75 \le n \le 1.25$
Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет 3 решения.
Ответ: 3.

4. Рассмотрим уравнение $\frac{\operatorname{tg}\,x - a}{\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ на промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \operatorname{tg}\,x - a = 0 \\ \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$
Рассмотрим эти условия на заданном промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$.
1. Условие $\cos x \neq 0$ (область определения тангенса) выполняется, так как точки $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$ не входят в интервал.
2. Условие $\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, то есть $\sin x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ это равенство выполняется только в одной точке $x = \frac{2\pi}{3}$. Следовательно, $x \neq \frac{2\pi}{3}$.
3. Решим основное уравнение $\operatorname{tg}\,x = a$. На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ функция $y=\operatorname{tg}\,x$ принимает каждое действительное значение ровно один раз. Это означает, что для любого $a$ уравнение $\operatorname{tg}\,x = a$ имеет ровно один корень на данном промежутке.
Теперь необходимо исключить случай, когда этот единственный корень совпадает с недопустимым значением $x = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем, при каком значении $a$ корень будет равен $\frac{2\pi}{3}$:
$a = \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.
Следовательно:
- Если $a = -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $\operatorname{tg}\,x = a$ это $x = \frac{2\pi}{3}$. Но это значение обращает знаменатель исходного уравнения в ноль, поэтому оно не является решением. В этом случае корней нет.
- Если $a \neq -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $\operatorname{tg}\,x = a$ на данном промежутке не равен $\frac{2\pi}{3}$, а значит, является решением исходного уравнения. В этом случае есть один корень.
Ответ: если $a = -\sqrt{3}$, то корней нет; если $a \neq -\sqrt{3}$, то один корень.

Самостоятельная работа № 32

Функции $y = \arccos x$, $y = \arcsin x$, $y = \operatorname{arctg} x$ и $y = \operatorname{arcctg} x$

1. Вычислите:

1) $\cos(2\operatorname{arctg} 1)$;

2) $\operatorname{tg}\left(5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

3) $\sin\left(\arcsin\frac{\pi}{7}\right)$.

2. Найдите область определения функции $y = \arcsin(3 - x^2)$.

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arccos x - \frac{\pi}{6}$;

2) $y = 3 - 4\operatorname{arctg} 4x$.

4. Вычислите:

1) $\sin\left(\arccos\frac{3}{7}\right)$;

2) $\cos(\operatorname{arctg} 4)$;

3) $\sin\left(2\arccos\frac{5}{6}\right)$;

4) $\arcsin(\sin 6)$.

1. Вычислите:

1) cos(2arctg 1)

Сначала найдем значение $arctg \, 1$. По определению арктангенса, это угол в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $arctg \, 1 = \frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$cos(2 \cdot arctg \, 1) = cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{2})$.

Значение $cos(\frac{\pi}{2})$ равно 0.

Ответ: 0.

2) tg(5arctg($\frac{\sqrt{3}}{3}$) - $\frac{1}{4}$arcsin($\frac{\sqrt{3}}{2}$))

Найдем значения аркфункций по отдельности.

$arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$tg(5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3}) = tg(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12})$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$tg(\frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = tg(\frac{9\pi}{12}) = tg(\frac{3\pi}{4})$.

Значение $tg(\frac{3\pi}{4})$ равно -1.

Ответ: -1.

3) sin(arcsin($\frac{\pi}{7}$))

Выражение $sin(arcsin \, x)$ имеет смысл, если $x$ принадлежит области определения арксинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.

Проверим, принадлежит ли $\frac{\pi}{7}$ этому отрезку. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{\pi}{7} \approx \frac{3.14}{7} \approx 0.45$.

Так как $-1 \le \frac{\pi}{7} \le 1$, выражение определено.

По основному свойству арксинуса $sin(arcsin \, x) = x$ для всех $x \in [-1, 1]$.

Следовательно, $sin(arcsin(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

Ответ: $\frac{\pi}{7}$.

2. Найдите область определения функции y = arcsin(3 - x²).

Область определения функции $y = arcsin(u)$ задается неравенством $-1 \le u \le 1$.

В нашем случае $u = 3 - x^2$. Следовательно, мы должны решить систему неравенств:

$-1 \le 3 - x^2 \le 1$.

Разобьем на два неравенства:

1) $3 - x^2 \ge -1$

$4 \ge x^2$

$x^2 \le 4$

$-2 \le x \le 2$, то есть $x \in [-2, 2]$.

2) $3 - x^2 \le 1$

$2 \le x^2$

$x^2 \ge 2$

$x \le -\sqrt{2}$ или $x \ge \sqrt{2}$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Область определения функции является пересечением решений этих двух неравенств: $x \in ([-2, 2]) \cap ((-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty))$.

Пересечением является объединение отрезков $[-2, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

3. Найдите область значений функции:

1) y = 2arccos x - $\frac{\pi}{6}$

Область значений функции $f(x) = arccos \, x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

То есть, $0 \le arccos \, x \le \pi$.

Умножим все части неравенства на 2:

$2 \cdot 0 \le 2arccos \, x \le 2 \cdot \pi$

$0 \le 2arccos \, x \le 2\pi$.

Вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{6}$:

$0 - \frac{\pi}{6} \le 2arccos \, x - \frac{\pi}{6} \le 2\pi - \frac{\pi}{6}$.

$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$.

$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{11\pi}{6}$.

Следовательно, область значений функции - это отрезок $[-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

2) y = 3 - 4arctg 4x

Область значений функции $g(x) = arctg \, x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Аргумент $4x$ пробегает все действительные значения, поэтому для $arctg \, 4x$ область значений также будет $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

$-\frac{\pi}{2} < arctg \, 4x < \frac{\pi}{2}$.

Умножим все части неравенства на -4, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-4 \cdot \frac{\pi}{2} < -4arctg \, 4x < -4 \cdot (-\frac{\pi}{2})$.

$-2\pi < -4arctg \, 4x < 2\pi$.

Прибавим ко всем частям неравенства 3:

$3 - 2\pi < 3 - 4arctg \, 4x < 3 + 2\pi$.

$3 - 2\pi < y < 3 + 2\pi$.

Следовательно, область значений функции - это интервал $(3 - 2\pi, 3 + 2\pi)$.

Ответ: $E(y) = (3 - 2\pi, 3 + 2\pi)$.

4. Вычислите:

1) sin(arccos($\frac{3}{7}$))

Пусть $\alpha = arccos(\frac{3}{7})$. По определению арккосинуса, $cos \, \alpha = \frac{3}{7}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $sin \, \alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{7})^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}$.

Так как $\alpha$ находится в интервале $[0, \pi]$, $sin \, \alpha$ не может быть отрицательным ($sin \, \alpha \ge 0$). Поэтому мы берем положительное значение корня:

$sin \, \alpha = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

2) cos(arctg 4)

Пусть $\beta = arctg \, 4$. По определению, $tg \, \beta = 4$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Нам нужно найти $cos \, \beta$.

Поскольку $tg \, \beta = 4 > 0$, угол $\beta$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен.

Используем тождество $1 + tg^2 \beta = \frac{1}{cos^2 \beta}$.

$cos^2 \beta = \frac{1}{1 + tg^2 \beta} = \frac{1}{1 + 4^2} = \frac{1}{1 + 16} = \frac{1}{17}$.

Так как $cos \, \beta > 0$, мы берем положительный корень:

$cos \, \beta = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}$.

3) sin(2arccos($\frac{5}{6}$))

Пусть $\gamma = arccos(\frac{5}{6})$. Тогда $cos \, \gamma = \frac{5}{6}$ и $0 \le \gamma \le \pi$.

Нам нужно вычислить $sin(2\gamma)$.

Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\gamma) = 2sin \, \gamma \cdot cos \, \gamma$.

Мы уже знаем $cos \, \gamma = \frac{5}{6}$. Найдем $sin \, \gamma$.

Из основного тригонометрического тождества: $sin^2 \gamma = 1 - cos^2 \gamma = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Поскольку $0 \le \gamma \le \pi$, то $sin \, \gamma \ge 0$. Следовательно:

$sin \, \gamma = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

Теперь подставляем значения в формулу двойного угла:

$sin(2\gamma) = 2 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10\sqrt{11}}{36} = \frac{5\sqrt{11}}{18}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{11}}{18}$.

4) arcsin(sin 6)

По определению, $y = arcsin(sin \, x)$ равен такому углу $y$, что $sin \, y = sin \, x$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Значение $x = 6$ не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$).

Нам нужно найти такое число $y_0$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $sin \, y_0 = sin \, 6$.

Воспользуемся свойством периодичности синуса $sin(x) = sin(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$.

Оценим значение 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.

Следовательно, $ \frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$. Угол 6 радиан находится в IV четверти.

Чтобы привести его к диапазону $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, мы можем вычесть $2\pi$:

$y_0 = 6 - 2\pi$.

Проверим, попадает ли это значение в нужный отрезок: $6 - 2\pi \approx 6 - 6.28 = -0.28$.

Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то $-1.57 \le -0.28 \le 1.57$. Значение $6 - 2\pi$ подходит.

Таким образом, $arcsin(sin \, 6) = 6 - 2\pi$.

Ответ: $6 - 2\pi$.