Страница 49 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

1. Для функции $f(x) = 5 - 3x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 4t^2 + 2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 3$ с.

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1.

Дана функция $f(x) = 5 - 3x^2$ и точка $x_0$.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$. Приращение функции определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$.

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = 5 - 3(x_0 + \Delta x)^2 = 5 - 3(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 5 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$

Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = 5 - 3x_0^2$

Теперь вычислим приращение $\Delta f$:

$\Delta f = (5 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2) - (5 - 3x_0^2) = -6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$

Далее найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-6x_0 - 3\Delta x)}{\Delta x} = -6x_0 - 3\Delta x$

Наконец, найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$. Этот предел является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} (-6x_0 - 3\Delta x) = -6x_0 - 3 \cdot 0 = -6x_0$

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -6x_0 - 3\Delta x$; $\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -6x_0$.

2.

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 4t^2 + 2$, где $s$ — перемещение в метрах, а $t$ — время в секундах. Необходимо найти мгновенную скорость точки в момент времени $t_0 = 3$ с.

Мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки в момент времени $t$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную функции $s(t)$:

$s'(t) = (4t^2 + 2)' = (4t^2)' + (2)' = 4 \cdot 2t + 0 = 8t$

Таким образом, функция мгновенной скорости имеет вид $v(t) = 8t$.

Теперь найдем значение мгновенной скорости в момент времени $t_0 = 3$ с, подставив это значение в функцию скорости:

$v(3) = 8 \cdot 3 = 24$ м/с.

Ответ: 24 м/с.

3.

Дана функция $y = x^2 + 1$. Требуется найти угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Угловой коэффициент касательной ($k$) к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.

$k = f'(x_0)$

Сначала найдем производную функции $y(x) = x^2 + 1$:

$y' = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Следовательно, угловой коэффициент касательной в указанной точке равен 2.

Ответ: 2.

Самостоятельная работа № 39

Понятие производной

1. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{5-x}{7}$;

2) $y = x^{2,4}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}$.

2. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = 3x^3\sqrt{x}, x_0 = 4$.

3. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 12) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 12

4. Касательная к графику функции $f(x) = x^3$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{12}$. Найдите $x_0$.

5. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^3}$. Найдите $s'(5)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{5-x}{7}$ представим ее в виде разности: $y = \frac{5}{7} - \frac{1}{7}x$. Производная константы равна нулю, а производная линейной функции $(kx+b)'=k$. Таким образом, $y' = (\frac{5}{7})' - (\frac{1}{7}x)' = 0 - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{7}$.

2) Для нахождения производной степенной функции $y = x^{2.4}$ воспользуемся формулой $(x^n)' = nx^{n-1}$. В данном случае $n=2.4$, поэтому $y' = 2.4 \cdot x^{2.4-1} = 2.4x^{1.4}$.

Ответ: $y' = 2.4x^{1.4}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^3}}$ сначала преобразуем ее к степенному виду $y=x^n$. Имеем $y = \frac{1}{x^{3/8}} = x^{-3/8}$. Теперь применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, где $n = -3/8$: $y' = -\frac{3}{8}x^{-3/8 - 1} = -\frac{3}{8}x^{-11/8}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{8}x^{-11/8}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$. Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6})$. Так как функция косинус является четной ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), то $f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = 3x^3\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 4$. Сначала преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = 3x^3 \cdot x^{1/2} = 3x^{3+1/2} = 3x^{7/2}$. Найдем производную функции: $f'(x) = (3x^{7/2})' = 3 \cdot \frac{7}{2}x^{7/2-1} = \frac{21}{2}x^{5/2}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$: $f'(4) = \frac{21}{2} \cdot 4^{5/2} = \frac{21}{2} \cdot (\sqrt{4})^5 = \frac{21}{2} \cdot 2^5 = \frac{21}{2} \cdot 32 = 21 \cdot 16 = 336$.

Ответ: $336$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона $\alpha$), проведенной к графику функции в этой точке: $f'(x) = \tan \alpha$.

Для точки $x_1$ касательная образует с положительным направлением оси Ox угол $150^\circ$. Следовательно, $f'(x_1) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $x_2$ касательная образует с положительным направлением оси Ox угол $45^\circ$. Следовательно, $f'(x_2) = \tan(45^\circ) = 1$.

Для точки $x_3$, которая является точкой локального минимума, касательная горизонтальна, и ее угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, $f'(x_3) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 1$, $f'(x_3) = 0$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Дана функция $f(x) = x^3$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{12}$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$. Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту: $f'(x_0) = k$, что дает уравнение $3x_0^2 = \frac{1}{12}$. Решим это уравнение относительно $x_0$: $x_0^2 = \frac{1}{12 \cdot 3} = \frac{1}{36}$. Отсюда $x_0 = \pm\sqrt{\frac{1}{36}} = \pm\frac{1}{6}$.

Ответ: $x_0 = \frac{1}{6}$ или $x_0 = -\frac{1}{6}$.

Дан закон движения материальной точки $s(t) = \frac{1}{t^3}$. Найдем производную функции $s(t)$. Для этого представим функцию в виде $s(t) = t^{-3}$. Тогда $s'(t) = (t^{-3})' = -3t^{-3-1} = -3t^{-4} = -\frac{3}{t^4}$. Вычислим значение производной в момент времени $t=5$: $s'(5) = -\frac{3}{5^4} = -\frac{3}{625}$.

Механический смысл производной от координаты по времени $s'(t)$ — это мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки. Таким образом, найденная величина $s'(5)$ — это мгновенная скорость точки в момент времени $t=5$. Знак «минус» указывает на то, что точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной оси.

Ответ: $s'(5) = -\frac{3}{625}$; это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=5$.