Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $ \cos x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ \cos 6x = 1; $

2) $ \cos(2 - 5x) = \frac{1}{2}; $

3) $ \cos \frac{3\pi x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

4) $ \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{3}; $

5) $ 3\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0. $

2. Найдите все корни уравнения $ \cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16} $.

3. Определите количество корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] $ в зависимости от значения параметра $ a $.

1.

1) $ \cos(6x) = 1 $

Это частный случай уравнения $ \cos(t) = 1 $, решение которого $ t = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 6x = 2\pi n $

$ x = \frac{2\pi n}{6} $

$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos(2 - 5x) = \frac{1}{2} $

По общей формуле решения уравнения $ \cos(t) = a $: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

$ 2 - 5x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n $

$ 2 - 5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ -5x = -2 \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 5x = 2 \mp \frac{\pi}{3} - 2\pi n $

$ x = \frac{2}{5} \mp \frac{\pi}{15} - \frac{2\pi n}{5} $

Поскольку $ n $ может быть любым целым числом, $ -n $ также может быть любым целым числом. Заменим $ -n $ на $ k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Знак $ \mp $ можно заменить на $ \pm $, так как оба случая рассматриваются.

$ x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{2}{5} \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $

3) $ \cos(\frac{3\pi x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \frac{3\pi x}{4} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ \frac{3\pi x}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

Умножим обе части на $ \frac{4}{3\pi} $:

$ x = \frac{4}{3\pi} \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) $

$ x = \pm \frac{4\pi}{18\pi} + \frac{8\pi n}{3\pi} $

$ x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{2}{9} + \frac{8n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

4) $ \cos(2x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} $

Область значений функции косинус $ y = \cos(t) $ есть отрезок $ [-1, 1] $.

Значение $ -\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047 $. Поскольку $ -1.047 < -1 $, правая часть уравнения не входит в область значений косинуса.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

5) $ 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0 $

Преобразуем уравнение:

$ 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1 $

$ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3} $

$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 2x = \frac{\pi}{3} \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2.

Сначала решим уравнение $ \cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Это дает две серии корней:

1) $ 4x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x_1 = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi n}{2} $

2) $ 4x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x_2 = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{2} $

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{16} < x < \frac{7\pi}{16} $. Приведем дроби к общему знаменателю 48: $ -\frac{3\pi}{48} < x < \frac{21\pi}{48} $.

Для первой серии корней:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{7\pi}{48} + \frac{24\pi n}{48} < \frac{21\pi}{48} $

$ -3 < 7 + 24n < 21 $

$ -10 < 24n < 14 $

$ -\frac{10}{24} < n < \frac{14}{24} \implies -\frac{5}{12} < n < \frac{7}{12} $

Единственное целое значение $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, это $ n=0 $. При $ n=0 $ корень равен $ x = \frac{7\pi}{48} $.

Для второй серии корней:

$ -\frac{3\pi}{48} < \frac{\pi}{48} + \frac{24\pi n}{48} < \frac{21\pi}{48} $

$ -3 < 1 + 24n < 21 $

$ -4 < 24n < 20 $

$ -\frac{4}{24} < n < \frac{20}{24} \implies -\frac{1}{6} < n < \frac{5}{6} $

Единственное целое значение $ n $ здесь также $ n=0 $. При $ n=0 $ корень равен $ x = \frac{\pi}{48} $.

Оба корня $ \frac{\pi}{48} $ и $ \frac{7\pi}{48} $ удовлетворяют заданному неравенству.

Ответ: $ \frac{\pi}{48}; \frac{7\pi}{48} $.

3.

Рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x $ на промежутке $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] $.

Найдем значения функции на концах промежутка:

$ f(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $

$ f(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

На промежутке $ [-\frac{2\pi}{3}, 0] $ функция $ \cos x $ возрастает от $ -\frac{1}{2} $ до $ \cos(0)=1 $.

На промежутке $ [0, \frac{\pi}{6}] $ функция $ \cos x $ убывает от $ \cos(0)=1 $ до $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, область значений функции $ \cos x $ на заданном промежутке $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] $ есть $ \left[-\frac{1}{2}, 1\right] $.

Количество корней уравнения $ \cos x = a $ равно числу точек пересечения графика $ y=\cos x $ и горизонтальной прямой $ y=a $ на данном промежутке.

1. Если $ a < -\frac{1}{2} $ или $ a > 1 $, прямая $ y=a $ не пересекает график функции на данном промежутке, следовательно, корней нет.

2. Если $ a = 1 $, есть одна точка пересечения $ x=0 $. Уравнение имеет один корень.

3. Если $ a = -\frac{1}{2} $, есть одна точка пересечения $ x=-\frac{2\pi}{3} $. Уравнение имеет один корень.

4. Если $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $, есть две точки пересечения: $ x=\frac{\pi}{6} $ и $ x=-\frac{\pi}{6} $ (так как $ -\frac{2\pi}{3} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} $). Уравнение имеет два корня.

5. Если $ \frac{\sqrt{3}}{2} < a < 1 $, прямая $ y=a $ пересекает график в двух точках: одна на интервале $ (-\frac{\pi}{6}, 0) $ и другая на $ (0, \frac{\pi}{6}) $. Оба корня лежат в заданном промежутке. Уравнение имеет два корня.

6. Если $ -\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2} $, прямая $ y=a $ пересекает график только в одной точке на интервале $ (-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}) $. Уравнение имеет один корень.

Ответ:

Если $ a \in (-\infty, -1/2) \cup (1, +\infty) $, то корней нет.

Если $ a \in [-1/2, \sqrt{3}/2) \cup \{1\} $, то один корень.

Если $ a \in [\sqrt{3}/2, 1) $, то два корня.

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $ \sin x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0; $

2) $ \sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0; $

3) $ \sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8}; $

4) $ \sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}. $

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0 $.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $ \sin x(\cos x - a) = 0 $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $?

1. Решите уравнение:

1) $2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть и разделим на 2, чтобы выразить синус:
$2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$
$\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$
Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$3x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{1}{3} \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k \right)$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} + 2\sin(4 - 9x) = 0$
Выразим синус:
$2\sin(4 - 9x) = -\sqrt{3}$
$\sin(4 - 9x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:
$-\sin(9x - 4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(9x - 4) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение:
$9x - 4 = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$9x - 4 = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$
Выразим $x$:
$9x = 4 + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{4}{9} + (-1)^k \frac{\pi}{27} + \frac{\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{4}{9} + \frac{(-1)^k \pi}{27} + \frac{\pi k}{9}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(6x - 7) = -\frac{\pi}{8}$
Уравнение вида $\sin(t) = a$ имеет решение только при $|a| \le 1$.
Проверим это условие для $a = -\frac{\pi}{8}$.
$|\-\frac{\pi}{8}| = \frac{\pi}{8}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{8} \approx \frac{3.14}{8} \approx 0.39$.
Поскольку $0.39 < 1$, уравнение имеет решения.
Общее решение:
$6x - 7 = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\pi}{8}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используем свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:
$6x - 7 = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right) + \pi k$
$6x - 7 = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \pi k$
Выразим $x$:
$6x = 7 + (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \pi k$
$x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{k+1}}{6} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{7}{6} + \frac{(-1)^{k+1}}{6} \arcsin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi k}{6}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = \sqrt{2}$
Это уравнение вида $a \cos x + b \sin x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
Подставим эти значения в уравнение:
$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$:
$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение для косинуса:
$x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Рассмотрим два случая:
1) $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$
2) $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$
Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $3\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.
Сначала решим уравнение:
$3\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -1$
$\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3}$
Решение этого уравнения можно записать в виде двух серий:
1) $4x - \frac{\pi}{6} = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k = -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$
2) $4x - \frac{\pi}{6} = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$
Выразим $x$ из каждой серии. Обозначим $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$. Заметим, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(0) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
1) $4x = \frac{\pi}{6} - \alpha + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}$
2) $4x = \frac{7\pi}{6} + \alpha + 2\pi k \implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi k}{2}$
Теперь найдем наименьший положительный корень, перебирая целые значения $k$.
Для первой серии:
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, то $0 < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{24}$. Следовательно, $x > 0$. Это положительный корень.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$. Этот корень больше предыдущего.
Для второй серии:
При $k=0$: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4}$. Этот корень очевидно положителен.
При $k=-1$: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{24} + \frac{\alpha}{4}$. Так как $\frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{24}$, этот корень отрицателен.
Сравним наименьшие положительные корни из каждой серии: $\frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$ и $\frac{7\pi}{24} + \frac{\alpha}{4}$.
Очевидно, что $\frac{\pi}{24} - \frac{\alpha}{4}$ меньше.
Таким образом, наименьший положительный корень равен $\frac{\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.
Ответ: $\frac{\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)$.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\sin x(\cos x - a) = 0$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$?
Данное уравнение распадается на два:
1) $\sin x = 0$
2) $\cos x - a = 0 \implies \cos x = a$
Нам нужно найти количество различных корней на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
1) Решим уравнение $\sin x = 0$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
Единственным корнем является $x = 0$. Этот корень существует при любом значении параметра $a$.
2) Решим уравнение $\cos x = a$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
На этом промежутке функция $\cos x$ принимает значения от 0 до 1. То есть $0 \le \cos x \le 1$.
Проанализируем количество корней в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$ или $a > 1$, уравнение $\cos x = a$ не имеет корней на данном промежутке.
• Если $a = 1$, уравнение $\cos x = 1$ имеет один корень $x = 0$.
• Если $a = 0$, уравнение $\cos x = 0$ имеет два корня $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
• Если $0 < a < 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет два корня: $x = \arccos(a)$ и $x = -\arccos(a)$. Оба корня принадлежат интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ и не равны нулю.

• При $a < 0$ или $a > 1$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = a$ корней не имеет.
  Всего 1 корень.
• При $a = 1$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = 1$ дает корень $x=0$.
  Корень совпадает, поэтому всего 1 корень.
• При $a = 0$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = 0$ дает корни $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{2}$.
  Все три корня различны, поэтому всего 3 корня.
• При $0 < a < 1$:
  $\sin x = 0$ дает корень $x=0$.
  $\cos x = a$ дает корни $x = \arccos(a)$ и $x = -\arccos(a)$.
  Все три корня различны, так как $\arccos(a) \neq 0$ для $a < 1$. Всего 3 корня.

Сгруппируем результаты:
- Если $a < 0$ или $a \ge 1$, уравнение имеет 1 корень.
- Если $0 \le a < 1$, уравнение имеет 3 корня.
Ответ: если $a \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$, то 1 корень; если $a \in [0, 1)$, то 3 корня.