Страница 40 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Свойства и графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$

1. На промежутке $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \right]$ укажите:

1) нули функции $y = \cos x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

2. Сравните:

1) $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{15\pi}{8}$;

2) $\cos(-8)$ и $\cos(-9)$.

3. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \sqrt{2} \sin 46^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin 59^{\circ}$?

4. Постройте график функции:

1) $y = \cos \left( 3x + \frac{3\pi}{4} \right) - 2$;

2) $y = \sin x - \left( \sqrt{\sin x} \right)^2$.

1) нули функции $y = \cos x$;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Решим уравнение $\cos x = 0$ на заданном промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right]$.

Общее решение уравнения $\cos x = 0$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $k$, при которых корни принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right]$:

$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{5\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{5}{3}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:

$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{3} - \frac{1}{2}$

$-\frac{2+3}{6} \le k \le \frac{10-3}{6}$

$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6}$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству, это $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.

Оба значения принадлежат заданному промежутку.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}$.

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

Функция $y=\cos x$ принимает наибольшее значение, равное 1, и наименьшее значение, равное -1.

Найдем значения $x$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right]$, при которых достигаются эти значения.

Наибольшее значение: $\cos x = 1$. Общее решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим в неравенство промежутка:

$-\frac{\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{5\pi}{3} \implies -\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6}$.

Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне – это $k=0$. Следовательно, $x=0$.

Наименьшее значение: $\cos x = -1$. Общее решение: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим в неравенство промежутка:

$-\frac{\pi}{3} \le \pi + 2\pi k \le \frac{5\pi}{3} \implies -\frac{1}{3} \le 1 + 2k \le \frac{5}{3} \implies -\frac{4}{3} \le 2k \le \frac{2}{3} \implies -\frac{2}{3} \le k \le \frac{1}{3}$.

Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне – это $k=0$. Следовательно, $x=\pi$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1 при $x=0$; наименьшее значение функции равно -1 при $x=\pi$.

1) $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{15\pi}{8}$

Преобразуем аргументы функций, чтобы определить их положение на единичной окружности.

$\frac{13\pi}{7} = \frac{14\pi - \pi}{7} = 2\pi - \frac{\pi}{7}$. Этот угол находится в IV четверти. $\sin \frac{13\pi}{7} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$.

$\frac{15\pi}{8} = \frac{16\pi - \pi}{8} = 2\pi - \frac{\pi}{8}$. Этот угол также находится в IV четверти. $\sin \frac{15\pi}{8} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{8}) = -\sin\frac{\pi}{8}$.

Теперь сравним $-\sin\frac{\pi}{7}$ и $-\sin\frac{\pi}{8}$. Для этого сначала сравним $\sin\frac{\pi}{7}$ и $\sin\frac{\pi}{8}$.

Сравним углы: $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{8}$. Так как $7 < 8$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$, следовательно, $\frac{\pi}{7} > \frac{\pi}{8}$.

Оба угла находятся в I четверти ($0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$), где функция $y=\sin x$ возрастает. Поэтому $\sin\frac{\pi}{7} > \sin\frac{\pi}{8}$.

Умножив обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\sin\frac{\pi}{7} < -\sin\frac{\pi}{8}$.

Следовательно, $\sin \frac{13\pi}{7} < \sin \frac{15\pi}{8}$.

Ответ: $\sin \frac{13\pi}{7} < \sin \frac{15\pi}{8}$.

2) $\cos(-8)$ и $\cos(-9)$

Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$. Поэтому нам нужно сравнить $\cos 8$ и $\cos 9$.

Определим, в каких четвертях находятся углы 8 и 9 радиан. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

$2\pi \approx 6.28$, $3\pi \approx 9.42$.

Оба угла 8 и 9 находятся в интервале $(2\pi, 3\pi)$.

На интервале $[2\pi, 3\pi]$ функция $y = \cos x$ ведет себя так же, как на интервале $[0, \pi]$, то есть убывает.

Так как $8 < 9$ и на данном интервале функция $\cos x$ убывает, то значение функции для большего аргумента будет меньше: $\cos 8 > \cos 9$.

Таким образом, $\cos(-8) > \cos(-9)$.

Ответ: $\cos(-8) > \cos(-9)$.

1) $\sin \alpha = \sqrt{2} \sin 46^\circ$

Область значений функции $y = \sin \alpha$ - это отрезок $[-1, 1]$. Равенство возможно только в том случае, если значение выражения в правой части принадлежит этому отрезку.

Оценим значение выражения $\sqrt{2} \sin 46^\circ$.

Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Угол $46^\circ$ находится в I четверти, где функция синус возрастает. Так как $46^\circ > 45^\circ$, то $\sin 46^\circ > \sin 45^\circ$.

Следовательно, $\sin 46^\circ > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \sin 46^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.

Значение выражения $\sqrt{2} \sin 46^\circ$ больше 1, что выходит за пределы области значений функции $\sin \alpha$.

Ответ: равенство невозможно.

2) $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin 59^\circ$?

Область значений функции $y = \cos \alpha$ - это отрезок $[-1, 1]$. Проверим, принадлежит ли значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ$ этому отрезку.

Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $59^\circ$ находится в I четверти, где функция синус возрастает. Так как $59^\circ < 60^\circ$, то $\sin 59^\circ < \sin 60^\circ$.

Следовательно, $\sin 59^\circ < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (это число больше 1):

$\frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ < \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

Так как $59^\circ$ в I четверти, $\sin 59^\circ > 0$, поэтому $0 < \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ < 1$.

Полученное значение находится в интервале $(0, 1)$, который является частью отрезка $[-1, 1]$.

Ответ: равенство возможно.

1) $y = \cos\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right) - 2$;

График данной функции можно построить путем последовательных преобразований графика основной функции $y = \cos x$.

1. Базовый график: $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.
2. Горизонтальное сжатие: $y_2 = \cos(3x)$. График $y_1$ сжимается по горизонтали к оси OY в 3 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$.
3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг): $y_3 = \cos\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)$. График $y_2$ сдвигается влево по оси OX на $\frac{\pi}{4}$.
4. Вертикальный сдвиг: $y = \cos\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right) - 2$. График $y_3$ сдвигается вниз по оси OY на 2 единицы.

Свойства и ключевые точки итогового графика:

• Период: $T = \frac{2\pi}{3}$.
• Область значений: Исходная область $[-1, 1]$ сдвигается на 2 вниз, получаем $[-1-2, 1-2] = [-3, -1]$.
• Максимумы: Точки, где $\cos\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right) = 1$. Например, при $3x + \frac{3\pi}{4} = 0 \implies x = -\frac{\pi}{4}$. Значение функции $y = 1 - 2 = -1$. Точка максимума: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$.
• Минимумы: Точки, где $\cos\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Например, при $3x + \frac{3\pi}{4} = \pi \implies x = \frac{\pi}{12}$. Значение функции $y = -1 - 2 = -3$. Точка минимума: $(\frac{\pi}{12}, -3)$.
• Пересечения со средней линией $y=-2$: Точки, где $\cos\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right) = 0$. Например, при $3x + \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = -\frac{\pi}{12}$, и при $3x + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$.

Для построения графика нужно отметить эти ключевые точки и соединить их плавной кривой, похожей на косинусоиду, а затем периодически повторить этот фрагмент с периодом $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y = \cos x$, сжатый в 3 раза по горизонтали, сдвинутый на $\frac{\pi}{4}$ влево и на 2 единицы вниз.

2) $y = \sin x - (\sqrt{\sin x})^2$.

Сначала найдем область определения данной функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому должно выполняться условие:

$\sin x \ge 0$

Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения, по свойству арифметического квадратного корня, $(\sqrt{\sin x})^2 = \sin x$.

Таким образом, на своей области определения функция принимает вид:

$y = \sin x - \sin x = 0$.

Следовательно, график функции представляет собой совокупность отрезков, лежащих на оси OX.

Эти отрезки соответствуют области определения функции: ..., $[-4\pi, -3\pi]$, $[-2\pi, -\pi]$, $[0, \pi]$, $[2\pi, 3\pi]$, ...

Ответ: График функции состоит из отрезков оси OX вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ - любое целое число.

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 48^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 48^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 56^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 27^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg} 38^{\circ}$ и $\sin 85^{\circ}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -3\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \operatorname{tg} 3|x|$;

3) $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$.

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся из условия $\operatorname{ctg} x = 0$.
Это уравнение равносильно уравнению $\cos x = 0$ при условии $\sin x \neq 0$.
Решения уравнения $\cos x = 0$ имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем, какие из этих решений принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.
Для этого решим неравенство:
$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{2\pi}{3}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{2}{3}$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$
$-\frac{2+3}{6} \le k \le \frac{4-3}{6}$
$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{1}{6}$
Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$.
При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
Это значение принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ - это все действительные числа, кроме тех, для которых $\sin x = 0$.
Решения уравнения $\sin x = 0$ имеют вид $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем, какие из этих чисел принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.
Решим неравенство:
$-\frac{\pi}{3} \le \pi n \le \frac{2\pi}{3}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{2}{3}$
Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 0$.
При $n=0$ получаем $x = \pi \cdot 0 = 0$.
Это значение принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $0$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 48^\circ$ и $\operatorname{tg} 48^\circ$;

Угол $48^\circ$ находится в первой четверти, где значения тангенса и котангенса положительны.
Известно, что $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ и $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, а функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на этом же интервале.
Так как $48^\circ > 45^\circ$, то:
$\operatorname{tg} 48^\circ > \operatorname{tg} 45^\circ = 1$
$\operatorname{ctg} 48^\circ < \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$
Следовательно, $\operatorname{ctg} 48^\circ < 1 < \operatorname{tg} 48^\circ$.
Ответ: $\operatorname{ctg} 48^\circ < \operatorname{tg} 48^\circ$.

2) $\operatorname{tg} 56^\circ$ и $\operatorname{ctg} 27^\circ$;

Используем формулу приведения: $\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$.
$\operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 27^\circ) = \operatorname{tg} 63^\circ$.
Теперь задача сводится к сравнению $\operatorname{tg} 56^\circ$ и $\operatorname{tg} 63^\circ$.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$.
Так как $56^\circ < 63^\circ$, то $\operatorname{tg} 56^\circ < \operatorname{tg} 63^\circ$.
Следовательно, $\operatorname{tg} 56^\circ < \operatorname{ctg} 27^\circ$.
Ответ: $\operatorname{tg} 56^\circ < \operatorname{ctg} 27^\circ$.

3) $\operatorname{ctg} 38^\circ$ и $\sin 85^\circ$.

Углы $38^\circ$ и $85^\circ$ находятся в первой четверти.
Рассмотрим значение $\operatorname{ctg} 38^\circ$. Так как $38^\circ < 45^\circ$, а функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает в первой четверти, то $\operatorname{ctg} 38^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.
Рассмотрим значение $\sin 85^\circ$. Функция $y = \sin x$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Так как $85^\circ \neq 90^\circ$, то $\sin 85^\circ < 1$.
Таким образом, мы имеем $\operatorname{ctg} 38^\circ > 1$ и $\sin 85^\circ < 1$.
Следовательно, $\operatorname{ctg} 38^\circ > \sin 85^\circ$.
Ответ: $\operatorname{ctg} 38^\circ > \sin 85^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

Построение графика функции $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ выполняется путем последовательных преобразований графика функции $y = \operatorname{tg} x$.
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$.
2. Сдвигаем его влево на $\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
3. Растягиваем полученный график вдоль оси OY в 3 раза. Получаем график функции $y = 3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
4. Отражаем последний график симметрично относительно оси OX. Получаем искомый график функции $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Функция становится убывающей на каждом интервале определения.
Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x$, сдвинутый влево на $\frac{\pi}{3}$, растянутый по вертикали в 3 раза и отраженный относительно оси OX.

2) $y = \operatorname{tg} 3|x|$;

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{tg} 3|-x| = \operatorname{tg} 3|x| = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси OY.
Построение графика можно выполнить в два этапа:
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$. Этот график получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем сжатия к оси OY в 3 раза. Период функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ равен $\frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты для $x \ge 0$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ для $k \ge 0$.
2. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$.
Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$, отраженный симметрично относительно оси OY.

3) $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, что соответствует $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.
2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, что соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид $y = -\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = -2\operatorname{ctg} x$.
Таким образом, искомый график состоит из:
- отрезков оси OX на промежутках $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$;
- частей графика функции $y = -2\operatorname{ctg} x$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$. График $y = -2\operatorname{ctg} x$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ отражением относительно оси OX и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.
Ответ: График состоит из отрезков оси абсцисс на интервалах, где $\operatorname{ctg} x \ge 0$, и частей графика $y = -2\operatorname{ctg} x$ на интервалах, где $\operatorname{ctg} x < 0$.