Страница 35 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Свойства корня n-й степени

1. Сравните:

1) $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt{7};$

2) $\sqrt[10]{5}$ и $\sqrt[15]{11}.$

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x-6)^6};$

2) $y = \sqrt[4]{(x-2)^3} \cdot \sqrt[4]{x-2}.$

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{15}};$

2) $\sqrt[3]{-m^{16}};$

3) $\sqrt[4]{x^{26}y^9};$

4) $\sqrt[4]{-81a^{13}};$

5) $\sqrt[6]{a^8b^7}$, если $a \le 0;$

6) $\sqrt[10]{-p^{21}q^{34}}$, если $q \le 0.$

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $3a\sqrt[3]{2a^2};$

2) $y\sqrt{-y^5};$

3) $b\sqrt[8]{b^7};$

4) $p^{10}\sqrt[6]{p^6}$, если $p \le 0;$

5) $m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8}$, если $m > 0, n < 0.$

5. Упростите выражение:

$(\frac{\sqrt[4]{a} + 3}{\sqrt[4]{a} - 3} + \frac{\sqrt[4]{a} - 3}{\sqrt[4]{a} + 3}) : \frac{3\sqrt[4]{a} + 27}{9 - \sqrt{a}}.$

1. Сравните:

1) $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt{7}$
Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 3 и 2 равно 6.
$\sqrt[3]{18} = \sqrt[3 \cdot 2]{18^2} = \sqrt[6]{324}$
$\sqrt{7} = \sqrt[2 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[6]{343}$
Теперь сравним подкоренные выражения: $324 < 343$.
Следовательно, $\sqrt[6]{324} < \sqrt[6]{343}$, а значит $\sqrt[3]{18} < \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{18} < \sqrt{7}$.

2) $\sqrt[10]{5}$ и $\sqrt[15]{11}$
Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 10 и 15 равно 30.
$\sqrt[10]{5} = \sqrt[10 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[30]{125}$
$\sqrt[15]{11} = \sqrt[15 \cdot 2]{11^2} = \sqrt[30]{121}$
Сравним подкоренные выражения: $125 > 121$.
Следовательно, $\sqrt[30]{125} > \sqrt[30]{121}$, а значит $\sqrt[10]{5} > \sqrt[15]{11}$.
Ответ: $\sqrt[10]{5} > \sqrt[15]{11}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x-6)^6}$
По свойству корня четной степени $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ при четном $n$.
В данном случае $n=6$ (четное), поэтому $y = |x-6|$.
Это график функции $y=|x|$, смещенный на 6 единиц вправо по оси Ox. График представляет собой две прямые, сходящиеся в точке (6, 0) (вершина).
При $x \ge 6$, $y = x-6$.
При $x < 6$, $y = -(x-6) = 6-x$.
Для построения графика отметим вершину (6, 0) и по одной точке на каждой ветви, например, (0, 6) и (8, 2).

2) $y = \sqrt[4]{(x-2)^3} \cdot \sqrt[4]{x-2}$
Найдем область определения функции: подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $(x-2)^3 \ge 0$ и $x-2 \ge 0$. Оба неравенства выполняются при $x \ge 2$.
Упростим выражение, используя свойство корней $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$y = \sqrt[4]{(x-2)^3 \cdot (x-2)} = \sqrt[4]{(x-2)^4}$.
Так как показатель корня $n=4$ четный, то $\sqrt[4]{(x-2)^4} = |x-2|$.
Учитывая область определения $x \ge 2$, имеем $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.
Итак, функция имеет вид $y = x-2$ при $x \ge 2$.
Графиком является луч, выходящий из точки (2, 0) и проходящий через точку, например, (4, 2).

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{15}}$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, $x^{15} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
$\sqrt[4]{x^{15}} = \sqrt[4]{x^{12} \cdot x^3} = \sqrt[4]{(x^3)^4 \cdot x^3} = |x^3| \sqrt[4]{x^3}$.
Так как $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$ и $|x^3|=x^3$.
Ответ: $x^3\sqrt[4]{x^3}$.

2) $\sqrt[3]{-m^{16}}$
Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.
$\sqrt[3]{-m^{16}} = \sqrt[3]{-1 \cdot m^{15} \cdot m} = \sqrt[3]{(-1)^3 \cdot (m^5)^3 \cdot m} = -1 \cdot m^5 \cdot \sqrt[3]{m} = -m^5\sqrt[3]{m}$.
Ответ: $-m^5\sqrt[3]{m}$.

3) $\sqrt[4]{x^{26}y^9}$
Область определения: $x^{26}y^9 \ge 0$. Так как $x^{26} \ge 0$ для любого $x$, то $y^9 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
$\sqrt[4]{x^{26}y^9} = \sqrt[4]{x^{24} \cdot x^2 \cdot y^8 \cdot y} = \sqrt[4]{(x^6)^4 \cdot (y^2)^4 \cdot x^2y} = |x^6| |y^2| \sqrt[4]{x^2y}$.
Так как $x^6 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $|x^6|=x^6$ и $|y^2|=y^2$.
Ответ: $x^6y^2\sqrt[4]{x^2y}$.

4) $\sqrt[4]{-81a^{13}}$
Область определения: $-81a^{13} \ge 0 \implies a^{13} \le 0 \implies a \le 0$.
$\sqrt[4]{-81a^{13}} = \sqrt[4]{81 \cdot (-a^{13})} = \sqrt[4]{3^4 \cdot a^{12} \cdot (-a)} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (-a)}$.
$= |3| \cdot |a^3| \cdot \sqrt[4]{-a}$.
Так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и $|a^3| = -a^3$. Выражение $-a \ge 0$.
$= 3(-a^3)\sqrt[4]{-a} = -3a^3\sqrt[4]{-a}$.
Ответ: $-3a^3\sqrt[4]{-a}$.

5) $\sqrt[6]{a^8b^7}$, если $a \le 0$
Область определения: $a^8b^7 \ge 0$. Так как $a^8 \ge 0$, то $b^7 \ge 0 \implies b \ge 0$.
$\sqrt[6]{a^8b^7} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b} = \sqrt[6]{a^6 b^6 a^2 b} = |a| |b| \sqrt[6]{a^2b}$.
По условию $a \le 0$, поэтому $|a|=-a$. Так как $b \ge 0$, то $|b|=b$.
$= (-a)b\sqrt[6]{a^2b} = -ab\sqrt[6]{a^2b}$.
Ответ: $-ab\sqrt[6]{a^2b}$.

6) $\sqrt[10]{-p^{21}q^{34}}$, если $q \le 0$
Область определения: $-p^{21}q^{34} \ge 0$. Так как $q^{34} \ge 0$, то $-p^{21} \ge 0 \implies p^{21} \le 0 \implies p \le 0$.
$\sqrt[10]{-p^{21}q^{34}} = \sqrt[10]{p^{20}q^{30}(-p)q^4} = \sqrt[10]{(p^2)^{10}(q^3)^{10}(-p)q^4} = |p^2| |q^3| \sqrt[10]{-pq^4}$.
$|p^2|=p^2$. По условию $q \le 0$, значит $q^3 \le 0$, поэтому $|q^3| = -q^3$.
$= p^2(-q^3)\sqrt[10]{-pq^4} = -p^2q^3\sqrt[10]{-pq^4}$.
Ответ: $-p^2q^3\sqrt[10]{-pq^4}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $3a\sqrt[3]{2a^2}$
Так как корень нечетной степени, множитель вносится под корень возведением в 3-ю степень.
$3a\sqrt[3]{2a^2} = \sqrt[3]{(3a)^3 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{27a^3 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{54a^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{54a^5}$.

2) $y\sqrt{-y^5}$
Область определения: $-y^5 \ge 0 \implies y^5 \le 0 \implies y \le 0$.
Так как множитель $y$ неположительный, а корень квадратный (четной степени), то при внесении под корень перед корнем оставляем знак "минус".
$y\sqrt{-y^5} = -(-y)\sqrt{-y^5}$. Множитель $(-y)$ неотрицателен, вносим его под корень.
$= -\sqrt{(-y)^2 \cdot (-y^5)} = -\sqrt{y^2 \cdot (-y^5)} = -\sqrt{-y^7}$.
Ответ: $-\sqrt{-y^7}$.

3) $b\sqrt[8]{b^7}$
Область определения: $b^7 \ge 0 \implies b \ge 0$.
Так как множитель $b$ неотрицательный, вносим его под знак корня 8-й степени.
$b\sqrt[8]{b^7} = \sqrt[8]{b^8 \cdot b^7} = \sqrt[8]{b^{15}}$.
Ответ: $\sqrt[8]{b^{15}}$.

4) $p^{10}\sqrt[6]{p^6}$, если $p \le 0$
Сначала упростим выражение: $\sqrt[6]{p^6} = |p|$. Так как $p \le 0$, то $|p| = -p$.
Выражение равно $p^{10}(-p) = -p^{11}$.
Теперь представим результат в виде корня 6-й степени. Так как $p \le 0$, то $p^{11} \le 0$, и $-p^{11} \ge 0$.
$-p^{11} = \sqrt[6]{(-p^{11})^6} = \sqrt[6]{(p^{11})^6} = \sqrt[6]{p^{66}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{p^{66}}$.

5) $m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8}$, если $m > 0, n < 0$
Определим знак множителя перед корнем: $m^3n^5$.
Так как $m > 0$, то $m^3 > 0$. Так как $n < 0$, то $n^5 < 0$.
Следовательно, $m^3n^5 < 0$. Множитель отрицательный.
$m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8} = -(-m^3n^5)\sqrt[6]{m^4n^8}$.
Внесем под корень положительный множитель $-m^3n^5$:
$= -\sqrt[6]{(-m^3n^5)^6 \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{m^{18}n^{30} \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{m^{22}n^{38}}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{m^{22}n^{38}}$.

5. Упростите выражение

$(\frac{\sqrt[4]{a}+3}{\sqrt[4]{a}-3} + \frac{\sqrt[4]{a}-3}{\sqrt[4]{a}+3}) \cdot \frac{3\sqrt{a}+27}{9-\sqrt{a}}$
Область допустимых значений: $a \ge 0$, $\sqrt[4]{a}-3 \ne 0 \implies a \ne 81$, $9-\sqrt{a} \ne 0 \implies a \ne 81$. Итак, $a \ge 0, a \ne 81$.
Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражение в скобках. Пусть $x=\sqrt[4]{a}$.
$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x^2+6x+9) + (x^2-6x+9)}{x^2-9} = \frac{2x^2+18}{x^2-9}$.
Подставим обратно $\sqrt[4]{a}$: $x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.
$\frac{2\sqrt{a}+18}{\sqrt{a}-9} = \frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9}$.
Теперь упростим второй множитель:
$\frac{3\sqrt{a}+27}{9-\sqrt{a}} = \frac{3(\sqrt{a}+9)}{-(\sqrt{a}-9)}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9} \cdot \frac{3(\sqrt{a}+9)}{-(\sqrt{a}-9)} = -\frac{2(\sqrt{a}+9) \cdot 3(\sqrt{a}+9)}{(\sqrt{a}-9)(\sqrt{a}-9)} = -\frac{6(\sqrt{a}+9)^2}{(\sqrt{a}-9)^2}$.
Это можно записать как $-6\left(\frac{\sqrt{a}+9}{\sqrt{a}-9}\right)^2$.
Ответ: $-\frac{6(\sqrt{a}+9)^2}{(\sqrt{a}-9)^2}$.