Страница 31 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 9x}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$;

3) $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{4x - 12}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 5x}$;

2) $y = (x + 3)\sqrt{x^2 + 5x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2 + 2x - 5$ на промежутке:

1) $[-2; -1]$;

2) $[0; 3]$.

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$.

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 9x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^3 + 9x \neq 0$
$x(x^2 + 9) \neq 0$
Так как $x^2 + 9 > 0$ для любого действительного $x$, то единственное ограничение — это $x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия $f(-x) = -f(x)$ или $f(-x) = f(x)$.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 9(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 9x} = -\frac{1}{x^3 + 9x} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 16 \ge 0$
$(x-4)(x+4) \ge 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.
Область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности.
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 16} = \sqrt{x^2 - 16} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{4x - 12}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$. Знаменатель не должен равняться нулю:
$4x - 12 \neq 0$
$4x \neq 12$
$x \neq 3$.
$D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Область определения функции не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x = -3$ принадлежит области определения, а точка $x = 3$ — нет). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 5x}$

1. Область определения функции:
$x^2 + 5x \ge 0$
$x(x + 5) \ge 0$
$D(y) = (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$.

2. Нули функции (точки, где $y=0$):
$\sqrt{x^2 + 5x} = 0$
$x^2 + 5x = 0$
$x(x + 5) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -5$. Оба значения принадлежат области определения.

3. Промежутки знакопостоянства:
Функция, являющаяся квадратным корнем, принимает только неотрицательные значения.
$y > 0$ при $x^2 + 5x > 0$, то есть при $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.
$y < 0$ — таких значений $x$ не существует.

Ответ: нули функции: $x = -5, x = 0$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = (x + 3)\sqrt{x^2 + 5x}$

1. Область определения функции такая же, как и в предыдущем пункте:
$D(y) = (-\infty; -5] \cup [0; +\infty)$.

2. Нули функции (точки, где $y=0$):
$(x + 3)\sqrt{x^2 + 5x} = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
a) $x+3 = 0 \implies x = -3$. Это значение не входит в область определения функции.
b) $\sqrt{x^2 + 5x} = 0 \implies x^2 + 5x = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -5$. Оба значения принадлежат области определения.
Следовательно, нули функции: $x = -5, x = 0$.

3. Промежутки знакопостоянства:
Знак функции $y$ совпадает со знаком множителя $(x+3)$, так как множитель $\sqrt{x^2 + 5x} \ge 0$ на всей области определения.
- $y > 0$, если $x+3 > 0$ и $x^2 + 5x > 0$.
Из $x > -3$ и $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$ следует, что $x \in (0; +\infty)$.
- $y < 0$, если $x+3 < 0$ и $x^2 + 5x > 0$.
Из $x < -3$ и $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$ следует, что $x \in (-\infty; -5)$.

Ответ: нули функции: $x = -5, x = 0$; $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -5)$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2 + 2x - 5$ на промежутке:

Данная функция — квадратичная, её график — парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1 < 0$). Своё наибольшее значение парабола достигает в вершине.
Найдём координату вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.
Значение функции в вершине: $y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$.

1) на промежутке $[-2; -1]$

Вершина параболы $x_v = 1$ не принадлежит промежутку $[-2; -1]$.
На этом промежутке (он лежит левее вершины) функция монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
$y_{наим} = y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 5 = -4 - 4 - 5 = -13$.
$y_{наиб} = y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 5 = -1 - 2 - 5 = -8$.

Ответ: $y_{наиб} = -8$, $y_{наим} = -13$.

2) на промежутке $[0; 3]$

Вершина параболы $x_v = 1$ принадлежит промежутку $[0; 3]$.
Так как ветви параболы направлены вниз, в вершине достигается наибольшее значение функции на данном промежутке.
$y_{наиб} = y(1) = -4$.
Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции на концах:
$y(0) = -0^2 + 2(0) - 5 = -5$.
$y(3) = -3^2 + 2(3) - 5 = -9 + 6 - 5 = -8$.
Сравнивая эти значения, получаем $y_{наим} = -8$.

Ответ: $y_{наиб} = -4$, $y_{наим} = -8$.

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$

Для нахождения области значений исследуем функцию на экстремумы с помощью производной.
1. Найдём производную функции:
$f'(x) = \left(\frac{x}{x^2 + 4}\right)' = \frac{(x)'(x^2+4) - x(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+4) - x \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies \frac{4-x^2}{(x^2+4)^2} = 0$.
Отсюда $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

3. Исследуем знак производной. При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, $x=-2$ — точка минимума. При переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, $x=2$ — точка максимума.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:
$f_{min} = f(-2) = \frac{-2}{(-2)^2 + 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
$f_{max} = f(2) = \frac{2}{2^2 + 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Функция непрерывна на всей числовой оси. Её пределы при $x \to \pm\infty$ равны нулю. Таким образом, все значения функции лежат между её наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}]$.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2x-1}$;

2) $y = \left| \frac{1}{2x-1} \right|$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2-3x}$;

2) $y = \sqrt{2-3|x|}$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\left| 3|x| - 2 \right| = a(x-4)$ имеет три корня?

1) $y = \frac{1}{2x-1}$

График функции $y = \frac{1}{2x-1}$ можно построить с помощью преобразований графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{2(x - 1/2)}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, расположенная в I и III координатных четвертях.
2. Сжимаем график $y = \frac{1}{x}$ к оси Y в 2 раза. Получаем график функции $y = \frac{1}{2x}$. Вертикальная асимптота $x=0$ не меняется, горизонтальная $y=0$ тоже.
3. Сдвигаем полученный график вправо на $1/2$ единицы. Получаем график искомой функции $y = \frac{1}{2(x - 1/2)} = \frac{1}{2x-1}$.

В результате получаем гиперболу. Вертикальная асимптота смещается в точку $x = 1/2$. Горизонтальная асимптота остается $y = 0$. График проходит через точки, например, $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1/2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Он получен из графика $y = 1/x$ путем сжатия к оси Y в 2 раза и сдвига вправо на $1/2$.

2) $y = |\frac{1}{2x - 1}|$

График функции $y = |\frac{1}{2x - 1}|$ получается из графика функции $y = \frac{1}{2x - 1}$ с помощью преобразования $y=f(x) \to y=|f(x)|$.

1. Сначала строим график функции $y = \frac{1}{2x - 1}$, как описано в предыдущем пункте.
2. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (оси X), оставляем без изменений. Это часть графика, где $2x-1 > 0$, то есть $x > 1/2$.
3. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. Это часть графика, где $2x-1 < 0$, то есть $x < 1/2$.

В результате весь график будет расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Асимптоты остаются прежними: вертикальная $x = 1/2$ и горизонтальная $y = 0$. Точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$.

Ответ: График получен из графика $y = \frac{1}{2x-1}$ путем отражения его части, лежащей под осью X, симметрично относительно оси X. Весь график лежит не ниже оси X.

1) $y = \sqrt{2-3x}$

График функции $y = \sqrt{2-3x}$ можно построить с помощью преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt{-3(x - 2/3)}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(0,0)$ в I координатную четверть.
2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси Y. Получаем график функции $y = \sqrt{-x}$.
3. Сжимаем полученный график к оси Y в 3 раза. Получаем график функции $y = \sqrt{-3x}$.
4. Сдвигаем последний график вправо на $2/3$ единицы. Получаем график искомой функции $y = \sqrt{-3(x-2/3)} = \sqrt{2-3x}$.

Область определения функции: $2-3x \ge 0 \implies x \le 2/3$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(2/3, 0)$ и идущую влево и вверх. График пересекает ось Y в точке $(0, \sqrt{2})$.

Ответ: Графиком является ветвь параболы, выходящая из точки $(2/3, 0)$ и направленная влево-вверх.

2) $y = \sqrt{2-3|x|}$

График функции $y = \sqrt{2-3|x|}$ получается из графика функции $y = \sqrt{2-3x}$ с помощью преобразования $y=f(x) \to y=f(|x|)$.

1. Сначала строим график функции $y = \sqrt{2-3x}$.
2. Оставляем ту часть графика, которая находится правее или на оси ординат (оси Y), то есть для $x \ge 0$. Эта часть графика идет от точки $(0, \sqrt{2})$ до точки $(2/3, 0)$.
3. Убираем часть графика, которая находится левее оси Y (для $x<0$).
4. Оставшуюся часть графика симметрично отражаем относительно оси Y.

Область определения функции: $2-3|x| \ge 0 \implies |x| \le 2/3$, то есть $x \in [-2/3, 2/3]$. Полученный график симметричен относительно оси Y. Он представляет собой "арку", соединяющую точки $(-2/3, 0)$ и $(2/3, 0)$ и достигающую максимума в точке $(0, \sqrt{2})$.

Ответ: График симметричен относительно оси Y, определён на отрезке $[-2/3, 2/3]$, имеет форму арки с вершиной в точке $(0, \sqrt{2})$ и концами в точках $(-2/3, 0)$ и $(2/3, 0)$.

3. При каких значениях параметра a уравнение $|3|x| - 2| = a(x - 4)$ имеет три корня?

Решим задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |3|x| - 2|$ и $y = a(x - 4)$.

1. Построим график функции $y = |3|x| - 2|$.

• Начнем с $y=3x-2$ (прямая).
• Применим преобразование $f(x) \to f(|x|)$, получим $y=3|x|-2$. График для $x \ge 0$ совпадает с $y=3x-2$, а для $x<0$ является его отражением относительно оси Y. Получается "галочка" (V-образный график) с вершиной в точке $(0, -2)$ и пересечениями с осью X в точках $x=\pm 2/3$.
• Применим преобразование $f(x) \to |f(x)|$, получим $y=|3|x|-2|$. Часть графика, лежащая под осью X (между $x=-2/3$ и $x=2/3$), отражается вверх. Вершина $(0,-2)$ переходит в $(0,2)$.

Итоговый график имеет W-образную форму с вершинами в точках $(-2/3, 0)$, $(0, 2)$ и $(2/3, 0)$.

2. Проанализируем график функции $y = a(x - 4)$.

Это семейство прямых, проходящих через точку $(4, 0)$, где параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

3. Найдем количество точек пересечения в зависимости от $a$.

Будем мысленно вращать прямую вокруг точки $(4, 0)$.

• Если $a > 0$, прямая $y=a(x-4)$ отрицательна при $x<4$, а график $y=|3|x|-2|$ всегда неотрицателен. Пересечение возможно только при $x \ge 4$. На этом участке график "W" задается функцией $y=3x-2$. Уравнение $a(x-4)=3x-2$ имеет один корень при $a>3$ и не имеет корней при $0 < a \le 3$. Таким образом, при $a>0$ не может быть трех корней.
• Если $a=0$, прямая $y=0$ (ось X) пересекает график в двух точках: $(-2/3, 0)$ и $(2/3, 0)$. Два корня.
• Если $a < 0$, прямая проходит через I, II и IV квадранты. Количество пересечений меняется, когда прямая проходит через одну из вершин W-образного графика.

Критическое положение — прохождение прямой через вершину $(0, 2)$. Найдем соответствующий наклон $a$:

$2 = a(0 - 4) \implies 2 = -4a \implies a = -1/2$.

При $a = -1/2$ прямая проходит через точку $(0, 2)$. Проверим, есть ли другие точки пересечения. Прямая $y = -1/2(x-4)$ пересекает:

• правую ветвь $y = 3x-2$ (при $x \ge 2/3$). $-1/2(x-4)=3x-2 \implies -x+4=6x-4 \implies 7x=8 \implies x=8/7$. Это одна точка.
• левую ветвь $y = -3x-2$ (при $x \le -2/3$). $-1/2(x-4)=-3x-2 \implies -x+4=-6x-4 \implies 5x=-8 \implies x=-8/5$. Это вторая точка.
• вершину $(0, 2)$. Это третья точка.

Таким образом, при $a = -1/2$ уравнение имеет ровно три корня.

Если вращать прямую дальше (уменьшать $a$ от $-1/2$), то она будет пересекать только две крайние ветви W-графика (2 корня), пока при $a=-3$ не станет параллельной одной из них (1 корень). Если $a$ находится между $0$ и $-1/2$, прямая пересекает график в четырех точках.

Ответ: Уравнение имеет три корня при $a = -1/2$.