Страница 26 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 42

Признаки возрастания и убывания функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x + \frac{5}{x}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$;

3) $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x$.

2. На рисунке 6 изображён график производной функции $f'$, дифференцируемой на $\mathbb{R}$. Укажите промежутки возрастания функции $f$.

Рис. 6

3. Решите уравнение $x^7 + 6x = \sin 5x$.

4. При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = \frac{1}{3}(a - 2)x^3 + 2x^2 - 9x + 3$ убывает на $\mathbb{R}$?

1) Для функции $f(x) = x + \frac{5}{x}$.
1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Найдем производную функции: $f'(x) = (x + \frac{5}{x})' = 1 - \frac{5}{x^2} = \frac{x^2 - 5}{x^2}$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 5}{x^2} = 0$. Отсюда $x^2 = 5$, следовательно, $x = \pm\sqrt{5}$. Производная не определена в точке $x = 0$, которая не входит в область определения.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty, -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}, 0)$, $(0, \sqrt{5})$, $(\sqrt{5}, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -\sqrt{5})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{5}, 0)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, \sqrt{5})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (\sqrt{5}, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}, +\infty)$ и убывает на промежутках $[-\sqrt{5}, 0)$ и $(0, \sqrt{5}]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}, +\infty)$, убывает на $[-\sqrt{5}, 0)$ и $(0, \sqrt{5}]$.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$.
1. Область определения функции находится из условия $x^2 - 4x \ge 0 \implies x(x-4) \ge 0$. Следовательно, $D(f) = (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.
2. Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x^2 - 4x})' = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$.
3. Производная не равна нулю ни в одной точке области определения (т.к. $x=2$ не входит в $D(f)$).
4. Исследуем знак производной на интервалах области определения: $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$ числитель $x-2$ отрицателен, знаменатель положителен, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (4, +\infty)$ числитель $x-2$ положителен, знаменатель положителен, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Таким образом, функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция возрастает на $[4, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 0]$.

3) Для функции $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x$.
1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями являются $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
4. Определим знаки производной.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $f$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ положительна, то есть $f'(x) > 0$. На рисунке 6 изображен график производной $y=f'(x)$. Мы ищем промежутки, на которых этот график находится выше оси Ox. Из графика видно, что $f'(x) > 0$ при $x \in (x_2, x_3)$. Следовательно, функция $f$ возрастает на промежутке $[x_2, x_3]$.
Ответ: $[x_2, x_3]$.

3. Решим уравнение $x^7 + 6x = \sin 5x$. Перепишем его в виде $x^7 + 6x - \sin 5x = 0$.
Рассмотрим функцию $h(x) = x^7 + 6x - \sin 5x$.
Найдем ее производную: $h'(x) = 7x^6 + 6 - 5\cos 5x$.
Оценим значение производной. Так как $x^6 \ge 0$, то $7x^6 \ge 0$. Наименьшее значение $7x^6+6$ равно $6$. Максимальное значение $5\cos 5x$ равно $5$. Следовательно, $h'(x) = (7x^6 + 6) - (5\cos 5x) \ge 6 - 5 = 1$.
Поскольку $h'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго возрастающая функция может пересекать ось Ox (т.е. равняться нулю) не более одного раза.
Подберем корень. При $x=0$ имеем: $0^7 + 6 \cdot 0 - \sin(0) = 0 - 0 = 0$. Таким образом, $x=0$ является единственным решением уравнения.
Ответ: $0$.

4. Функция $f(x) = \frac{1}{3}(a - 2)x^3 + 2x^2 - 9x + 3$ убывает на $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную: $f'(x) = (a-2)x^2 + 4x - 9$.
Производная является квадратичной функцией. Чтобы парабола $y = (a-2)x^2 + 4x - 9$ была неположительной для всех $x$, необходимо, чтобы ее ветви были направлены вниз, а вершина находилась не выше оси Ox. Это равносильно системе условий:
1) Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным: $a-2 < 0 \implies a < 2$. (Случай $a-2=0$ приводит к линейной функции $f'(x)=4x-9$, которая не является неположительной для всех $x$).
2) Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным: $D \le 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 4^2 - 4(a-2)(-9) = 16 + 36(a-2)$.
Решим неравенство $16 + 36(a-2) \le 0$:
$36(a-2) \le -16$
$a-2 \le -\frac{16}{36}$
$a-2 \le -\frac{4}{9}$
$a \le 2 - \frac{4}{9}$
$a \le \frac{14}{9}$.
Объединяя условия $a < 2$ и $a \le \frac{14}{9}$, получаем $a \le \frac{14}{9}$.
Ответ: $a \in (-\infty, \frac{14}{9}]$.

Самостоятельная работа № 43

Точки экстремума функции

1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$;

2) $f(x) = x^2 \sqrt{4 - x}$.

2. На рисунке 7 изображён график производной функции $f$, определённой на $R$. Укажите:

1) критические точки функции $f$;

2) точки экстремума функции $f$.

Рис. 7

3. Найдите, при каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = \sin^2 x - (2a + 1)x$:

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

1.

1) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 3}{x + 2}\right)' = \frac{(x^2 - 3)'(x+2) - (x^2-3)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{2x(x+2) - (x^2-3) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x^2+4x-x^2+3}{(x+2)^2} = \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$.

3. Найдём критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю. Производная не существует в точке $x=-2$, но эта точка не входит в область определения функции.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2+4x+3=0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва разбивают область определения: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; +\infty)$.
Знаменатель производной $(x+2)^2$ всегда положителен при $x \neq -2$, поэтому знак $f'(x)$ зависит только от знака числителя $x^2+4x+3=(x+3)(x+1)$.
- При $x \in (-\infty; -3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-3; -2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = -3$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[-1, +\infty)$; убывает на промежутках $[-3, -2)$ и $(-2, -1]$; точка максимума $x_{max} = -3$; точка минимума $x_{min} = -1$.

2) Для функции $f(x) = x^2 \sqrt{4 - x}$

1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4-x \ge 0$, следовательно, $x \le 4$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 4]$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования произведения:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{4-x} + x^2(\sqrt{4-x})' = 2x\sqrt{4-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{4-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{2x\sqrt{4-x} \cdot 2\sqrt{4-x} - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{4x(4-x) - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x-4x^2-x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x-5x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{x(16-5x)}{2\sqrt{4-x}}$.

3. Найдём критические точки. Производная не существует при $x=4$ (крайняя точка области определения). Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x(16-5x)}{2\sqrt{4-x}} = 0$.
$x(16-5x) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 16/5 = 3.2$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 3.2)$, $(3.2; 4)$.
Знаменатель $2\sqrt{4-x}$ положителен при $x<4$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(16-5x)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 3.2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (3.2; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. Определим точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 3.2$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.
- Точка $x=4$ является концом области определения. Так как функция убывает на интервале $(3.2; 4)$, то $x=4$ является точкой локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 3.2]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[3.2, 4]$; точка максимума $x_{max} = 3.2$; точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 4$.

2.

На рисунке изображен график производной функции $y=f'(x)$.

1) Критические точки функции $f$ — это точки из области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.
Производная $f'(x)$ равна нулю в точках пересечения её графика с осью абсцисс, то есть при $x=-5$, $x=-3$ и $x=2$.
Производная $f'(x)$ не существует в точке $x=0$, где её график имеет вертикальную асимптоту.
Таким образом, критическими точками функции $f$ являются $x = -5, -3, 0, 2$.
Ответ: $-5, -3, 0, 2$.

2) Точки экстремума — это критические точки, при переходе через которые производная меняет свой знак.
- В точке $x=-5$ производная меняет знак с `-` на `+` (график пересекает ось абсцисс снизу вверх). Следовательно, $x=-5$ — точка минимума.
- В точке $x=-3$ производная меняет знак с `+` на `-` (график пересекает ось абсцисс сверху вниз). Следовательно, $x=-3$ — точка максимума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`. Следовательно, $x=0$ — точка минимума.
- В точке $x=2$ производная равна нулю, но не меняет знак (график касается оси абсцисс и остается в положительной полуплоскости). Следовательно, $x=2$ не является точкой экстремума.
Ответ: $x_{min} = -5$, $x_{max} = -3$, $x_{min} = 0$.

3.

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - (2a + 1)x$.

Найдём её производную:
$f'(x) = (\sin^2 x)' - ((2a+1)x)' = 2\sin x \cos x - (2a+1) = \sin(2x) - (2a+1)$.

Функция дифференцируема на всей числовой прямой, поэтому её критические точки — это точки, в которых производная равна нулю.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \sin(2x) - (2a+1) = 0 \Rightarrow \sin(2x) = 2a+1$.

1) Функция не имеет критических точек, если уравнение $\sin(2x) = 2a+1$ не имеет решений. Уравнение $\sin(t)=c$ не имеет решений, если $|c|>1$.
Следовательно, $|2a+1| > 1$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$2a+1 > 1$ или $2a+1 < -1$.
$2a > 0 \Rightarrow a > 0$.
$2a < -2 \Rightarrow a < -1$.
Таким образом, функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

2) Функция не имеет точек экстремума, если в её критических точках производная не меняет свой знак. Это происходит, если:
1. Критических точек нет. Из пункта 1) это выполняется при $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.
2. Критические точки есть, но производная в них не меняет знак. Это возможно, если $f'(x)$ всегда неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) или всегда неположительна ($f'(x) \le 0$).
$f'(x) = \sin(2x) - (2a+1)$.
- Если $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, то $\sin(2x) \ge 2a+1$. Так как наименьшее значение $\sin(2x)$ равно $-1$, это неравенство будет выполняться для всех $x$ только если $2a+1 \le -1$, то есть $2a \le -2 \Rightarrow a \le -1$. В предельном случае $a=-1$ производная $f'(x)=\sin(2x)+1 \ge 0$ и обращается в ноль, не меняя знака.
- Если $f'(x) \le 0$ для всех $x$, то $\sin(2x) \le 2a+1$. Так как наибольшее значение $\sin(2x)$ равно $1$, это неравенство будет выполняться для всех $x$ только если $2a+1 \ge 1$, то есть $2a \ge 0 \Rightarrow a \ge 0$. В предельном случае $a=0$ производная $f'(x)=\sin(2x)-1 \le 0$ и обращается в ноль, не меняя знака.
Объединяя все случаи ($a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, $a \le -1$, $a \ge 0$), получаем, что функция не имеет точек экстремума при $a \le -1$ или $a \ge 0$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.