Страница 28 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 45

Вторая производная.

Понятие выпуклости функции

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = (5x - 2)^4$;

2) $y = (x - 1)^2 \sin x.$

2. Тело массой 2 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^3 - 2t + 3$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу $F(t) = ma(t)$, действующую на тело через 5 с после начала движения.

3. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^2 + \sqrt{x+4}$;

2) $y = 7x^9 - 27x^8 + 4x - 2.$

1) Дана функция $y = (5x - 2)^4$.

Для нахождения второй производной сначала найдем первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((5x - 2)^4)' = 4(5x - 2)^{4-1} \cdot (5x - 2)' = 4(5x - 2)^3 \cdot 5 = 20(5x - 2)^3$.

Теперь найдем вторую производную, дифференцируя первую:

$y'' = (20(5x - 2)^3)' = 20 \cdot 3(5x - 2)^{3-1} \cdot (5x - 2)' = 60(5x - 2)^2 \cdot 5 = 300(5x - 2)^2$.

Ответ: $y'' = 300(5x - 2)^2$.

2) Дана функция $y = (x - 1)^2 \sin x$.

Находим первую производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x - 1)^2)' \sin x + (x - 1)^2 (\sin x)' = 2(x - 1) \sin x + (x - 1)^2 \cos x$.

Находим вторую производную, дифференцируя каждый член суммы (снова применяя правило произведения):

$y'' = (2(x - 1) \sin x)' + ((x - 1)^2 \cos x)'$

$y'' = [(2(x-1))' \sin x + 2(x-1)(\sin x)'] + [((x-1)^2)' \cos x + (x-1)^2(\cos x)']$

$y'' = [2 \sin x + 2(x-1)\cos x] + [2(x-1)\cos x + (x-1)^2(-\sin x)]$

Упростим выражение, группируя подобные члены:

$y'' = 2 \sin x + 4(x - 1) \cos x - (x - 1)^2 \sin x = (2 - (x - 1)^2) \sin x + 4(x - 1) \cos x$.

Раскроем скобки в множителе при $\sin x$:

$y'' = (2 - (x^2 - 2x + 1)) \sin x + 4(x - 1) \cos x = (-x^2 + 2x + 1) \sin x + 4(x - 1) \cos x$.

Ответ: $y'' = (-x^2 + 2x + 1) \sin x + 4(x - 1) \cos x$.

Закон движения тела задан уравнением $s(t) = t^3 - 2t + 3$. Масса тела $m = 2$ кг.

Сила, действующая на тело, находится по второму закону Ньютона: $F(t) = m \cdot a(t)$, где $a(t)$ - ускорение.

Ускорение является второй производной от перемещения по времени: $a(t) = s''(t)$.

Найдем первую производную (скорость):

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 2t + 3)' = 3t^2 - 2$.

Найдем вторую производную (ускорение):

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 2)' = 6t$.

Вычислим ускорение в момент времени $t = 5$ с:

$a(5) = 6 \cdot 5 = 30$ м/с².

Найдем силу, действующую на тело в этот момент времени:

$F(5) = m \cdot a(5) = 2 \cdot 30 = 60$ Н.

Ответ: 60 Н.

1) Дана функция $y = x^2 + \sqrt{x+4}$.

Область определения функции: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$, то есть $D(y) = [-4; +\infty)$.

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную.

Первая производная: $y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$.

Вторая производная: $y'' = 2 - \frac{1}{4(x+4)\sqrt{x+4}} = 2 - \frac{1}{4(x+4)^{3/2}}$.

Найдем точки, в которых $y''=0$: $2 - \frac{1}{4(x+4)^{3/2}} = 0 \implies (x+4)^{3/2} = \frac{1}{8}$.

Возведем обе части в степень 2/3: $x+4 = (\frac{1}{8})^{2/3} = \frac{1}{4}$, откуда $x = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}$.

Исследуем знак $y''$ на интервалах, на которые область определения делится точкой $x = -15/4$.

На интервале $(-4; -15/4)$ имеем $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).

На интервале $(-15/4; +\infty)$ имеем $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).

Так как в точке $x = -15/4$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдем ее ординату:

$y(-\frac{15}{4}) = (-\frac{15}{4})^2 + \sqrt{-\frac{15}{4} + 4} = \frac{225}{16} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{225}{16} + \frac{8}{16} = \frac{233}{16}$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-4; -15/4]$, вогнута (выпукла вниз) на промежутке $[-15/4; +\infty)$; точка перегиба: $(-15/4, 233/16)$.

2) Дана функция $y = 7x^9 - 27x^8 + 4x - 2$.

Область определения функции - все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем вторую производную:

$y' = 63x^8 - 216x^7 + 4$.

$y'' = 504x^7 - 1512x^6 = 504x^6(x - 3)$.

Найдем нули второй производной: $504x^6(x - 3) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Так как множитель $504x^6 \ge 0$, знак $y''$ совпадает со знаком множителя $(x-3)$.

На интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 3)$ имеем $x-3<0$, поэтому $y'' \le 0$. Функция выпукла вверх (выпукла).

На интервале $(3; +\infty)$ имеем $x-3>0$, поэтому $y''>0$. Функция выпукла вниз (вогнута).

В точке $x=3$ знак второй производной меняется, следовательно, это точка перегиба. В точке $x=0$ знак не меняется. Найдем ординату точки перегиба:

$y(3) = 7 \cdot 3^9 - 27 \cdot 3^8 + 4 \cdot 3 - 2 = 7 \cdot 3^9 - 3^3 \cdot 3^8 + 10 = 3^9(7 - 3^2) + 10 = 19683 \cdot (-2) + 10 = -39356$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; 3]$, вогнута (выпукла вниз) на промежутке $[3; +\infty)$; точка перегиба: $(3, -39356)$.

Самостоятельная работа № 46

Построение графиков функций

1. Сколько корней имеет уравнение $3x^2 - x^3 = a$ в зависимости от значения параметра $a$?

2. Постройте график функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$.

1.

Чтобы определить количество корней уравнения $3x^2 - x^3 = a$ в зависимости от параметра $a$, мы исследуем функцию $f(x) = 3x^2 - x^3$ и найдем, сколько раз горизонтальная прямая $y=a$ пересекает её график.

1. Найдём производную функции, чтобы определить точки экстремума.
$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки.
$6x - 3x^2 = 0$
$3x(2 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

4. Найдём значения функции в точках экстремума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$f_{min}(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.
- В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$f_{max}(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.

Таким образом, функция имеет локальный минимум $y_{min} = 0$ и локальный максимум $y_{max} = 4$.
Теперь проанализируем количество пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y = a$:
- Если прямая проходит выше максимума ($a > 4$) или ниже минимума ($a < 0$), будет одно пересечение.
- Если прямая проходит через максимум ($a = 4$) или через минимум ($a = 0$), будет два пересечения.
- Если прямая проходит между минимумом и максимумом ($0 < a < 4$), будет три пересечения.

Ответ:
- при $a < 0$ или $a > 4$ — 1 корень;
- при $a = 0$ или $a = 4$ — 2 корня;
- при $0 < a < 4$ — 3 корня.

2.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$ проведём её исследование.

1. Область определения.
Знаменатель $x^2 + 4$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Чётность.
$f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = \frac{-4x}{x^2 + 4} = -f(x)$.
Функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат (0, 0).

3. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $f(0) = 0$. График проходит через начало координат (0, 0). Это единственная точка пересечения с осями.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет.
- Найдём горизонтальную асимптоту: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{4x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{4}{x}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдём первую производную:
$f'(x) = \left(\frac{4x}{x^2 + 4}\right)' = \frac{(4x)'(x^2 + 4) - 4x(x^2 + 4)'}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4(x^2 + 4) - 4x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16 - 4x^2}{(x^2 + 4)^2}$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $16 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
- На интервале $(-\infty, -2)$ $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2, 2)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2, \infty)$ $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точка $x = -2$ является точкой локального минимума. $f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2 + 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
Точка $x = 2$ является точкой локального максимума. $f(2) = \frac{4(2)}{2^2 + 4} = \frac{8}{8} = 1$.

6. Построение графика.
На основе полученных данных строим график.
- График симметричен относительно начала координат.
- Проходит через точку (0, 0).
- При $x \to \pm\infty$ график приближается к оси OX ($y=0$).
- В точке $(-2, -1)$ находится локальный минимум.
- В точке $(2, 1)$ находится локальный максимум.
График представляет собой волну, которая при $x \to -\infty$ выходит из-под оси OX, достигает минимума в $(-2, -1)$, затем возрастает, проходит через начало координат, достигает максимума в $(2, 1)$, и затем убывает, приближаясь к оси OX сверху при $x \to +\infty$.

Ответ:
График функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, с горизонтальной асимптотой $y=0$. Точка локального минимума: $(-2, -1)$, точка локального максимума: $(2, 1)$. График пересекает оси координат в единственной точке (0,0).