Страница 25 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 40

Правила вычисления производных

1. Найдите производную функции:

1) $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17;$

2) $y = \operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x;$

3) $y = \sqrt{x(3x^2 + 2)};$

4) $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x}};$

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x};$

6) $y = x^2 \cos\frac{1}{x}.$

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 3x|$ в точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 1.$

1) Дана функция $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы. Производная константы равна нулю.
$y' = (3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17)' = (3x^7)' - (6x^5)' - (4x^2)' + (17)'$
$y' = 3 \cdot 7x^{6} - 6 \cdot 5x^{4} - 4 \cdot 2x^{1} + 0$
$y' = 21x^6 - 30x^4 - 8x$
Ответ: $21x^6 - 30x^4 - 8x$.

2) Дана функция $y = \tg x + \ctg x$.
Используем производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$y' = (\tg x + \ctg x)' = (\tg x)' + (\ctg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$.

3) Дана функция $y = \sqrt{x}(3x^2 + 2)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $y = x^{1/2}(3x^2 + 2) = 3x^{2+1/2} + 2x^{1/2} = 3x^{5/2} + 2x^{1/2}$.
Теперь находим производную, используя правило для степенной функции:
$y' = (3x^{5/2} + 2x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2-1} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{15}{2}x^{3/2} + x^{-1/2}$
Преобразуем выражение, приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{15}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{15x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{15x^2 + 2}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{15x^2 + 2}{2\sqrt{x}}$.

4) Дана функция $y = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$.
Упростим функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:
$y = \frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1/2} - x^{-1/2}$
Теперь найдем производную:
$y' = (x^{1/2} - x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$
Преобразуем выражение:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.

5) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 2x}$.
Это сложная функция. Запишем ее в виде $y = (x^3 - 2x)^{1/3}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
В данном случае $u = x^3 - 2x$, а $n = 1/3$. Производная внутренней функции $u' = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2$.
$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 2x)^{1/3 - 1} \cdot (3x^2 - 2) = \frac{1}{3}(x^3 - 2x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 2)$
Запишем ответ в виде дроби:
$y' = \frac{3x^2 - 2}{3(x^3 - 2x)^{2/3}} = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$
Ответ: $\frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}$.

6) Дана функция $y = x^2\cos\frac{1}{x}$.
Используем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = x^2$ и $v = \cos\frac{1}{x}$. Тогда $u' = 2x$.
Производную $v'$ находим по цепному правилу: $v' = (\cos\frac{1}{x})' = -\sin\frac{1}{x} \cdot (\frac{1}{x})' = -\sin\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}$.
Теперь подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \cos\frac{1}{x} + x^2 \cdot \left(\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}\right) = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$
Ответ: $2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}$.

2. Для нахождения производной функции $f(x) = |x^2 - 3x|$ в заданных точках, необходимо сначала раскрыть модуль, определив знак выражения под ним.
Выражение $x^2 - 3x = x(x-3)$ равно нулю при $x=0$ и $x=3$. Оно положительно при $x < 0$ или $x > 3$ и отрицательно при $0 < x < 3$.
Рассмотрим каждую точку:
- В точке $x_1 = -2$, которая лежит в интервале $(-\infty, 0)$, выражение $x^2 - 3x$ положительно. Следовательно, в окрестности этой точки $f(x) = x^2 - 3x$.
Производная $f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.
Значение производной в точке $x_1 = -2$: $f'(-2) = 2(-2) - 3 = -7$.
- В точке $x_2 = 1$, которая лежит в интервале $(0, 3)$, выражение $x^2 - 3x$ отрицательно. Следовательно, в окрестности этой точки $f(x) = -(x^2 - 3x) = -x^2 + 3x$.
Производная $f'(x) = (-x^2 + 3x)' = -2x + 3$.
Значение производной в точке $x_2 = 1$: $f'(1) = -2(1) + 3 = 1$.
Ответ: $f'(-2) = -7$; $f'(1) = 1$.

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 2}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 3x - 5$, которая параллельна прямой $y = 7x - 2$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + 1$, проходящей через точку А (1; 1).

1. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{x-4}{x^2 - 2}$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{-1 - 4}{(-1)^2 - 2} = \frac{-5}{1 - 2} = \frac{-5}{-1} = 5$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-4)'(x^2-2) - (x-4)(x^2-2)'}{(x^2-2)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-2) - (x-4) \cdot 2x}{(x^2-2)^2} = \frac{x^2-2 - 2x^2 + 8x}{(x^2-2)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 2}{(x^2-2)^2}$.

Далее найдем значение производной в точке $x_0 = -1$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = \frac{-(-1)^2 + 8(-1) - 2}{((-1)^2 - 2)^2} = \frac{-1 - 8 - 2}{(1-2)^2} = \frac{-11}{(-1)^2} = -11$.

Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 5$ и $f'(x_0) = -11$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-11)(x - (-1))$

$y = 5 - 11(x+1)$

$y = 5 - 11x - 11$

$y = -11x - 6$.

Ответ: $y = -11x - 6$.

2. Касательная к графику функции $f(x) = x^2 + 3x - 5$ параллельна прямой $y = 7x - 2$.

Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 7x - 2$ равен $k=7$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 3x - 5)' = 2x + 3$.

Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 7$

$2x_0 + 3 = 7$

$2x_0 = 4$

$x_0 = 2$.

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:

$y_0 = f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 - 5 = 4 + 6 - 5 = 5$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 5)$.

Составим уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$:

$y = 5 + 7(x - 2)$

$y = 5 + 7x - 14$

$y = 7x - 9$.

Ответ: $y = 7x - 9$.

3. Необходимо составить уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + 1$, проходящей через точку А(1; 1).

Сначала проверим, лежит ли точка А на графике функции: $f(1) = -1^2 + 1 = 0$. Так как $f(1) \neq 1$, точка А не является точкой касания.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 1)' = -2x$.

Значения функции и ее производной в точке $x_0$:

$f(x_0) = -x_0^2 + 1$

$f'(x_0) = -2x_0$.

Подставим эти выражения в уравнение касательной:

$y = (-x_0^2 + 1) + (-2x_0)(x - x_0)$

$y = -x_0^2 + 1 - 2x_0x + 2x_0^2$

$y = -2x_0x + x_0^2 + 1$.

Поскольку касательная проходит через точку A(1; 1), ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим $x=1$ и $y=1$:

$1 = -2x_0(1) + x_0^2 + 1$

$0 = x_0^2 - 2x_0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$.

Получаем два возможных значения для $x_0$: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$. Это означает, что из точки А можно провести две касательные к графику функции.

Найдем уравнения для каждого случая:

1) При $x_0 = 0$:

Подставляем $x_0=0$ в общее уравнение касательной $y = -2x_0x + x_0^2 + 1$:

$y = -2(0)x + 0^2 + 1 \Rightarrow y = 1$.

2) При $x_0 = 2$:

Подставляем $x_0=2$ в общее уравнение касательной $y = -2x_0x + x_0^2 + 1$:

$y = -2(2)x + 2^2 + 1 \Rightarrow y = -4x + 4 + 1 \Rightarrow y = -4x + 5$.

Ответ: $y = 1$ и $y = -4x + 5$.