Страница 24 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

Для функции $f(x) = 4 - 2x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 + 1$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 4$ с.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1.

Дана функция $f(x) = 4 - 2x^2$ и точка $x_0$.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$.

По определению, $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = 4 - 2(x_0 + \Delta x)^2 = 4 - 2(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 4 - 2x_0^2 - 4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2$.

Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = 4 - 2x_0^2$.

Теперь найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = (4 - 2x_0^2 - 4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2) - (4 - 2x_0^2) = -4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2$.

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-4x_0\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-4x_0 - 2\Delta x)}{\Delta x} = -4x_0 - 2\Delta x$.

Далее найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-4x_0 - 2\Delta x) = -4x_0 - 2 \cdot 0 = -4x_0$.

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0 - 2\Delta x$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0$.

2.

Мгновенная скорость материальной точки является производной от функции перемещения по времени. Закон движения задан функцией $s(t) = 3t^2 + 1$.

Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 1)'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (3t^2)' + (1)' = 3 \cdot 2t + 0 = 6t$.

Теперь найдем мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 4$ с, подставив это значение в функцию скорости:

$v(4) = 6 \cdot 4 = 24$ (м/с).

Ответ: 24 м/с.

3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Дана функция $y = x^2 + 2$ и точка с абсциссой $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (x^2 + 2)'$.

По правилам дифференцирования:

$y'(x) = (x^2)' + (2)' = 2x + 0 = 2x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

Самостоятельная работа № 39

Понятие производной

1. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{4-x}{6}$;

2) $y = \frac{1}{x^7}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$.

2. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$;

2) $\varphi(x) = \frac{2x^3}{\sqrt[3]{x}}, x_0 = 8$.

3. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 5) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 5

4. Касательная к графику функции $f(x) = x^5$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k = \frac{1}{125}$. Найдите $x_0$.

5. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^2}$. Найдите $s'(6)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

1)

Представим функцию в виде суммы двух слагаемых: $y = \frac{4 - x}{6} = \frac{4}{6} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3} - \frac{1}{6}x$.

Производная константы равна нулю, а производная $kx$ равна $k$. Используя правила дифференцирования, находим производную:

$y' = (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}x)' = (\frac{2}{3})' - (\frac{1}{6}x)' = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{6}$.

2)

Представим функцию в виде степени: $y = \frac{1}{x^7} = x^{-7}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-7})' = -7x^{-7-1} = -7x^{-8} = -\frac{7}{x^8}$.

Ответ: $y' = -\frac{7}{x^8}$.

3)

Представим функцию в виде степени с рациональным показателем:

$y = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}} = \frac{1}{x^{5/7}} = x^{-5/7}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-5/7})' = -\frac{5}{7}x^{-5/7 - 1} = -\frac{5}{7}x^{-12/7}$.

Результат можно записать в виде корня: $y' = -\frac{5}{7\sqrt[7]{x^{12}}}$.

Ответ: $y' = -\frac{5}{7}x^{-12/7}$.

2.

1)

Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Сначала найдем производную функции. Производная косинуса равна минус синусу:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2)

Дана функция $\varphi(x) = \frac{2x^3}{\sqrt[3]{x}}$ и точка $x_0 = 8$.

Сначала упростим выражение для функции, используя свойства степеней:

$\varphi(x) = \frac{2x^3}{x^{1/3}} = 2x^{3 - 1/3} = 2x^{8/3}$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции:

$\varphi'(x) = (2x^{8/3})' = 2 \cdot \frac{8}{3}x^{8/3 - 1} = \frac{16}{3}x^{5/3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$:

$\varphi'(8) = \frac{16}{3}(8)^{5/3} = \frac{16}{3}(\sqrt[3]{8})^5 = \frac{16}{3}(2)^5 = \frac{16}{3} \cdot 32 = \frac{512}{3}$.

Ответ: $\frac{512}{3}$.

3.

Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угол наклона отсчитывается от положительного направления оси Ox.

Для точки $x_1$: угол наклона касательной равен $60^\circ$.

$f'(x_1) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Для точки $x_2$: точка $x_2$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке горизонтальна, то есть угол ее наклона равен $0^\circ$.

$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Для точки $x_3$: угол наклона касательной равен $120^\circ$.

$f'(x_3) = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = \sqrt{3}$, $f'(x_2) = 0$, $f'(x_3) = -\sqrt{3}$.

4.

Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^5$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

По условию, угловой коэффициент $k = \frac{1}{125}$. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к этому значению:

$f'(x_0) = 5x_0^4 = \frac{1}{125}$.

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:

$x_0^4 = \frac{1}{125 \cdot 5} = \frac{1}{625}$.

$x_0 = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \pm \frac{1}{5}$.

Ответ: $x_0 = \pm \frac{1}{5}$.

5.

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = \frac{1}{t^2}$.

Чтобы найти $s'(6)$, сначала найдем производную $s'(t)$. Представим функцию в виде степени:

$s(t) = t^{-2}$.

$s'(t) = (t^{-2})' = -2t^{-2-1} = -2t^{-3} = -\frac{2}{t^3}$.

Теперь вычислим значение производной при $t=6$:

$s'(6) = -\frac{2}{6^3} = -\frac{2}{216} = -\frac{1}{108}$.

Механический смысл производной от закона движения $s(t)$ по времени $t$ заключается в том, что она представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени $t$. Таким образом, $s'(6)$ — это мгновенная скорость точки в момент времени $t=6$.

Ответ: $s'(6) = -\frac{1}{108}$. Найденная величина — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=6$.