Страница 33 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Степенная функция с целым показателем

1. Дана функция $f(x) = x^{-20}$. Сравните:

1) $f(1,4)$ и $f(2,6)$;

2) $f(-5,4)$ и $f(-6,3)$;

3) $f(-2,8)$ и $f(2,8)$;

4) $f(-25)$ и $f(7)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x} - 3)^0$;

2) $y = (x^{-3})^{-2}$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = 4 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -x^{-4}, \\ y = -\sqrt{x} + 3. \end{cases}$

4. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-10) < f(-9)$;

2) $f(-10) > f(-9)$;

3) $f(10) < f(-9)$;

4) $f(10) < f(9)$?

1.

Дана функция $f(x) = x^{-20} = \frac{1}{x^{20}}$. Показатель степени $-20$ является чётным отрицательным числом. Следовательно, функция $f(x)$ является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$. Область определения функции: $x \neq 0$. Проанализируем монотонность функции:

• На промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает. Если $x_2 > x_1 > 0$, то $x_2^{20} > x_1^{20}$, и $\frac{1}{x_2^{20}} < \frac{1}{x_1^{20}}$, следовательно $f(x_2) < f(x_1)$.
• На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает. Если $x_2 > x_1$ (и $x_1, x_2 < 0$), то $|x_2| < |x_1|$, откуда $|x_2|^{20} < |x_1|^{20}$. Так как показатель степени чётный, $x_2^{20} < x_1^{20}$, и $\frac{1}{x_2^{20}} > \frac{1}{x_1^{20}}$, следовательно $f(x_2) > f(x_1)$.

1) Аргументы $1,4$ и $2,6$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция убывает. Так как $1,4 < 2,6$, то $f(1,4) > f(2,6)$.
Ответ: $f(1,4) > f(2,6)$.

2) Аргументы $-5,4$ и $-6,3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция возрастает. Так как $-6,3 < -5,4$, то $f(-6,3) < f(-5,4)$.
Ответ: $f(-5,4) > f(-6,3)$.

3) Функция $f(x) = x^{-20}$ является чётной, поскольку показатель степени $-20$ — чётное число. Для чётной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, $f(-2,8) = f(2,8)$.
Ответ: $f(-2,8) = f(2,8)$.

4) Так как функция чётная, $f(-25) = f(25)$. Теперь необходимо сравнить $f(25)$ и $f(7)$. Аргументы $25$ и $7$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция убывает. Поскольку $25 > 7$, то $f(25) < f(7)$. Таким образом, $f(-25) < f(7)$.
Ответ: $f(-25) < f(7)$.

2.

1) $y = (\sqrt{x} - 3)^0$. Область определения функции находится из условий: подкоренное выражение неотрицательно ($x \ge 0$) и основание степени не равно нулю ($\sqrt{x} - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 9$). Таким образом, область определения $D(y) = [0, 9) \cup (9, +\infty)$. На всей области определения значение функции равно $1$, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. График функции — это луч $y=1$, начинающийся в точке $(0,1)$, с выколотой (пустой) точкой $(9,1)$.
Ответ: График функции — это луч $y=1$ с началом в точке $(0,1)$, из которого выколота точка $(9,1)$.

2) $y = (x^{-3})^{-2}$. Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $y = x^{(-3) \cdot (-2)} = x^6$. Область определения исходной функции задаётся условием $x \neq 0$, так как выражение $x^{-3}$ не определено при $x=0$. Следовательно, необходимо построить график функции $y = x^6$ с выколотой точкой в начале координат. График $y = x^6$ — это чётная степенная функция, её график симметричен относительно оси Oy и похож на параболу, но с более крутыми ветвями.
Ответ: График функции — это парабола $y=x^6$ с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$.

3.

1) $\begin{cases} y = x^{-3} \\ y = 4 - x \end{cases}$. Количество решений системы — это количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-3}$ и $y = 4-x$. График $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ расположен в I и III координатных четвертях. График $y = 4-x$ — это прямая, проходящая через точки $(0,4)$ и $(4,0)$. При $x>0$ (I четверть) график $y = x^{-3}$ убывает от $+\infty$ до $0$, а прямая $y=4-x$ убывает от $4$ до $-\infty$. Графики имеют одну точку пересечения. При $x<0$ (III четверть) значения функции $y = x^{-3}$ отрицательны, а значения функции $y = 4-x$ положительны ($y>4$). Точек пересечения нет. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

2) $\begin{cases} y = -x^{-4} \\ y = -\sqrt{x} + 3 \end{cases}$. Количество решений системы — это количество точек пересечения графиков функций $y = -x^{-4}$ и $y = -\sqrt{x} + 3$. Область определения второго уравнения: $x \ge 0$. Следовательно, ищем решения только для $x \ge 0$. При $x>0$ график $y = -x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$ полностью лежит в IV четверти ($y<0$). Эта функция возрастает на $(0, +\infty)$ от $-\infty$ до $0$. График $y = -\sqrt{x} + 3$ начинается в точке $(0,3)$, убывает и пересекает ось Ox в точке $x=9$. При $x \in [0,9)$ значения $y \ge 0$, а при $x>9$ значения $y<0$. Пересечение графиков возможно только при $x>9$, где обе функции отрицательны. На этом промежутке функция $y = -x^{-4}$ возрастает, а $y = -\sqrt{x} + 3$ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Так как при $x=9$ первая функция отрицательна, а вторая равна нулю, а при $x \to \infty$ первая стремится к нулю, а вторая к $-\infty$, то они обязательно пересекутся. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

4.

Функция $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число.

• Если $n$ — чётное число, $f(x)$ — чётная функция. Она возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$.
• Если $n$ — нечётное число, $f(x)$ — нечётная функция. Она убывает и на $(-\infty, 0)$, и на $(0, +\infty)$.

1) $f(-10) < f(-9)$. Аргументы $-10$ и $-9$ лежат на промежутке $(-\infty, 0)$. Из $-10 < -9$ следует $f(-10) < f(-9)$, что по определению означает, что функция возрастает на этом промежутке. Функция $f(x)=x^{-n}$ возрастает на $(-\infty, 0)$ при чётном $n$.
Ответ: Чётным.

2) $f(-10) > f(-9)$. Аргументы $-10$ и $-9$ лежат на промежутке $(-\infty, 0)$. Из $-10 < -9$ следует $f(-10) > f(-9)$, что по определению означает, что функция убывает на этом промежутке. Функция $f(x)=x^{-n}$ убывает на $(-\infty, 0)$ при нечётном $n$.
Ответ: Нечётным.

3) $f(10) < f(-9)$. Если $n$ чётное, то $f(x)$ — чётная, и $f(-9) = f(9)$. Неравенство становится $f(10) < f(9)$. На $(0, +\infty)$ функция убывает, и так как $10>9$, то $f(10) < f(9)$ — верное неравенство. Если $n$ нечётное, то $f(x)$ — нечётная, и $f(-9) = -f(9)$. Неравенство становится $f(10) < -f(9)$, или $\frac{1}{10^n} < -\frac{1}{9^n}$. Это неверно, так как положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, $n$ должно быть чётным.
Ответ: Чётным.

4) $f(10) < f(9)$. Аргументы $10$ и $9$ лежат на промежутке $(0, +\infty)$. Из $10 > 9$ следует $f(10) < f(9)$, что означает, что функция убывает на этом промежутке. Функция $f(x)=x^{-n}$ убывает на $(0, +\infty)$ для любого натурального $n$, как чётного, так и нечётного. Поэтому по данному условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: Невозможно определить.