Страница 39 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Периодические функции

1. Найдите значение выражения:

1) $\sin 420^\circ$;

2) $\cos \frac{23\pi}{4}$;

3) $\operatorname{tg} \left(-\frac{13\pi}{3}\right)$.

2. На рисунке 10 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 10

а

б

3. Покажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \cos(2x), T = \pi$;

2) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}, T = 4$.

4. Найдите период функции $f(x) = \sin(3x) - \operatorname{ctg} \frac{5x}{2}$.

5. Найдите все значения параметра $a$, при которых число $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(ax)$.

1) Для нахождения значения $ \sin 420° $ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360°$.
$ \sin 420° = \sin(360° + 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2) Для нахождения значения $ \cos \frac{23\pi}{4} $ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$.
Представим аргумент в виде $ \frac{23\pi}{4} = \frac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4} $.
$ \cos \frac{23\pi}{4} = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) $.
Косинус — четная функция, поэтому $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
$ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

3) Для нахождения значения $ \operatorname{tg} (-\frac{13\pi}{3}) $ воспользуемся свойствами функции тангенс. Тангенс — нечетная функция, $ \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.
$ \operatorname{tg} (-\frac{13\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{13\pi}{3}) $.
Период тангенса равен $ \pi $. Представим аргумент в виде $ \frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3} $.
$ -\operatorname{tg}(\frac{13\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(4\pi + \frac{\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.

a) График функции на промежутке $ [-2T; 2T] $ строится путем повторения заданного на $ [0; T] $ фрагмента. Этот фрагмент копируется и сдвигается на $ T $, $ -T $ и $ -2T $ вдоль оси абсцисс. В результате график на промежутке $ [-2T; 2T] $ будет состоять из четырех одинаковых частей. Каждая часть начинается в точке $ (nT, 0) $, где $ n \in \{-2, -1, 0, 1\} $, далее график идет по кривой до точки $ (nT + T/2, 3) $ и продолжается горизонтальной линией до точки $ ((n+1)T, 3) $. В точках $ x = -T, 0, T $ функция имеет разрывы.
Ответ: График на промежутке $ [-2T; 2T] $ состоит из четырех последовательных копий фрагмента, показанного на рисунке.

б) График функции на промежутке $ [-2T; 2T] $ представляет собой непрерывную ломаную линию. Он строится путем периодического повторения фрагмента, заданного на отрезке $ [-T/2; T/2] $. Этот фрагмент является треугольником с вершинами в точках $ (-T/2, 0) $, $ (0, 4) $ и $ (T/2, 0) $. Итоговый график будет состоять из отрезков, последовательно соединяющих точки: $ (-2T, 4), (-3T/2, 0), (-T, 4), (-T/2, 0), (0, 4), (T/2, 0), (T, 4), (3T/2, 0), (2T, 4) $.
Ответ: График представляет собой непрерывную "пилообразную" волну с максимумами в точках $ x = -2T, -T, 0, T, 2T $ (значение 4) и нулями в точках $ x = -3T/2, -T/2, T/2, 3T/2 $.

1) Чтобы доказать, что число $ T = \pi $ является периодом функции $ f(x) = \cos 2x $, нужно проверить выполнение равенства $ f(x+T) = f(x) $ для любого $ x $ из области определения.
$ f(x+\pi) = \cos(2(x+\pi)) = \cos(2x + 2\pi) $.
Так как $ 2\pi $ является основным периодом функции косинус, $ \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = f(x) $.
Равенство выполняется, следовательно, $ T = \pi $ является периодом функции.
Ответ: Равенство $ f(x+\pi) = f(x) $ выполняется, что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что число $ T = 4 $ является периодом функции $ f(x) = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2} $, нужно проверить выполнение равенства $ f(x+T) = f(x) $.
$ f(x+4) = \operatorname{tg}(\frac{\pi(x+4)}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi x}{2} + 2\pi) $.
Так как $ \pi $ является основным периодом функции тангенс, то и $ 2\pi $ также является ее периодом. Таким образом, $ \operatorname{tg}(\frac{\pi x}{2} + 2\pi) = \operatorname{tg}(\frac{\pi x}{2}) = f(x) $.
Равенство выполняется, следовательно, $ T = 4 $ является периодом функции.
Ответ: Равенство $ f(x+4) = f(x) $ выполняется, что и требовалось доказать.

4. Для нахождения периода функции $ f(x) = \sin 3x - \operatorname{ctg} \frac{5x}{2} $ найдем периоды каждого слагаемого. Период функции $ f_1(x) = \sin 3x $ равен $ T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3} $. Период функции $ f_2(x) = \operatorname{ctg} \frac{5x}{2} $ равен $ T_2 = \frac{\pi}{|5/2|} = \frac{2\pi}{5} $. Период $ T $ функции $ f(x) $ равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $ T_1 $ и $ T_2 $.$ T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{5}) $. Ищем наименьшие натуральные числа $ n_1 $ и $ n_2 $, для которых $ n_1 T_1 = n_2 T_2 $.
$ n_1 \frac{2\pi}{3} = n_2 \frac{2\pi}{5} \implies \frac{n_1}{3} = \frac{n_2}{5} $. Наименьшие натуральные значения: $ n_1 = 3, n_2 = 5 $. Тогда период $ T = n_1 T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi $.
Ответ: $ 2\pi $.

5. Число $ T = \frac{4\pi}{5} $ является периодом функции $ f(x) = \sin ax $ тогда и только тогда, когда для любого $ x $ из области определения выполняется равенство $ f(x+T) = f(x) $.$ f(x+T) = \sin(a(x+T)) = \sin(ax + aT) $. Это выражение равно $ \sin(ax) $ в том случае, если $ aT $ является целым кратным $ 2\pi $.$ aT = 2\pi k $, где $ k \in Z, k \neq 0 $ (случай $ k=0 $ приводит к $ a=0 $, тогда функция постоянна, и любое число является периодом, что является тривиальным случаем).Подставим значение $ T $:$ a \cdot \frac{4\pi}{5} = 2\pi k $. Выразим $ a $:$ a = \frac{2\pi k \cdot 5}{4\pi} = \frac{5k}{2} $.
Ответ: $ a = \frac{5k}{2} $, где $ k \in Z, k \neq 0 $.