Страница 42 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $cos(\pi + \alpha)$;

2) $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$;

3) $tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})$;

4) $tg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha)$.

2. Найдите значение выражения

$sin(-\frac{11\pi}{6})cos\frac{19\pi}{6}tg\frac{5\pi}{4}ctg(-\frac{5\pi}{3})$.

3. Упростите выражение:

1) $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - sin(\pi - \alpha) - cos(\pi - \alpha) - sin(2\pi - \alpha)$;

2) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\text{tg}(\pi + \alpha)}$.

4. Упростите выражение tg 41°tg 42°tg 43° ... tg 49°.

1. Упростите выражение:

1) $cos(\pi + \alpha)$

Применяем формулу приведения. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется.

$cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$

Ответ: $-cos(\alpha)$

2) $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Применяем формулу приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Функция меняется на кофункцию (тангенс).

$ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$

Ответ: $tg(\alpha)$

3) $tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})$

Используем свойство нечетности тангенса $tg(-x) = -tg(x)$ и формулу приведения.

$tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Функция меняется на кофункцию (котангенс).

$-tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -ctg(\alpha)$

Ответ: $-ctg(\alpha)$

4) $tg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha)$

Упростим аргумент, используя периодичность тангенса (период $T=\pi$, а также $2\pi$).

$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

$tg^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = tg^2(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = tg^2(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Применяем формулу приведения для $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол находится в первой четверти, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию.

$tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$

Тогда $tg^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$

Ответ: $ctg^2(\alpha)$

2. Найдите значение выражения:

$sin(-\frac{11\pi}{6}) \cdot cos\frac{19\pi}{6} \cdot tg\frac{5\pi}{4} \cdot ctg(-\frac{5\pi}{3})$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности:

$sin(-\frac{11\pi}{6}) = -sin(\frac{11\pi}{6}) = -sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-sin\frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$cos\frac{19\pi}{6} = cos(\frac{18\pi+\pi}{6}) = cos(3\pi + \frac{\pi}{6}) = cos(2\pi + \pi + \frac{\pi}{6}) = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg\frac{5\pi}{4} = tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = tg\frac{\pi}{4} = 1$

$ctg(-\frac{5\pi}{3}) = -ctg(\frac{5\pi}{3}) = -ctg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-ctg\frac{\pi}{3}) = ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

3. Упростите выражение:

1) $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - sin(\pi - \alpha) - cos(\pi - \alpha) - sin(2\pi - \alpha)$

Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$

$sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$

$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$

$sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos(\alpha) - sin(\alpha) - (-cos(\alpha)) - (-sin(\alpha)) = cos(\alpha) - sin(\alpha) + cos(\alpha) + sin(\alpha) = 2cos(\alpha)$

Ответ: $2cos(\alpha)$

2) $\frac{sin(\pi + \alpha)cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)tg(\alpha - \frac{\pi}{2})}{cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)tg(\pi + \alpha)}$

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.

Числитель:

$sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -sin(\alpha)$

$tg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -ctg(\alpha)$

Произведение в числителе: $(-sin(\alpha)) \cdot (-sin(\alpha)) \cdot (-ctg(\alpha)) = -sin^2(\alpha)ctg(\alpha)$

Знаменатель:

$cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -sin(\alpha)$

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$

$tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$

Произведение в знаменателе: $(-sin(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -sin^2(\alpha)tg(\alpha)$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{-sin^2(\alpha)ctg(\alpha)}{-sin^2(\alpha)tg(\alpha)} = \frac{ctg(\alpha)}{tg(\alpha)} = \frac{ctg(\alpha)}{\frac{1}{ctg(\alpha)}} = ctg^2(\alpha)$

Ответ: $ctg^2(\alpha)$

4. Упростите выражение $tg\,41^\circ tg\,42^\circ tg\,43^\circ ... tg\,49^\circ$:

Заметим, что в произведении 9 множителей. Центральный множитель - $tg\,45^\circ$. Сгруппируем множители попарно, используя формулу приведения $tg(90^\circ - \alpha) = ctg(\alpha)$ и основное тригонометрическое тождество $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$.

$tg\,49^\circ = tg(90^\circ - 41^\circ) = ctg\,41^\circ$

$tg\,48^\circ = tg(90^\circ - 42^\circ) = ctg\,42^\circ$

$tg\,47^\circ = tg(90^\circ - 43^\circ) = ctg\,43^\circ$

$tg\,46^\circ = tg(90^\circ - 44^\circ) = ctg\,44^\circ$

Перепишем исходное выражение:

$(tg\,41^\circ \cdot tg\,49^\circ) \cdot (tg\,42^\circ \cdot tg\,48^\circ) \cdot (tg\,43^\circ \cdot tg\,47^\circ) \cdot (tg\,44^\circ \cdot tg\,46^\circ) \cdot tg\,45^\circ =$

$= (tg\,41^\circ \cdot ctg\,41^\circ) \cdot (tg\,42^\circ \cdot ctg\,42^\circ) \cdot (tg\,43^\circ \cdot ctg\,43^\circ) \cdot (tg\,44^\circ \cdot ctg\,44^\circ) \cdot tg\,45^\circ =$

$= 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Так как $tg\,45^\circ = 1$.

Ответ: $1$