Страница 41 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между

тригонометрическими функциями одного

и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$;

2) $\text{ctg}^2 2\alpha + \text{tg } 6\alpha \text{ctg } 6\alpha$;

3) $\frac{1 + \text{ctg}^2 2\alpha(\cos^2 2\alpha - 1)}{\sin^2 2\alpha}$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\beta$, если $\text{tg}\beta = -3$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\sin^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha$;

2) $6\cos^2 \alpha - 3\text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

4. Упростите выражение $\sqrt{\sin^2 \alpha(1 - \text{ctg} \alpha) + \cos^2 \alpha(1 - \text{tg} \alpha)}$,

если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1. Упростите выражение:

1) Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Для аргумента $\frac{\alpha}{4}$ оно выглядит как $\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} = 1$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2 \frac{\alpha}{4} + \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \frac{1}{\sin^2 5\beta} = 1 - \frac{1}{\sin^2 5\beta}$
Приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{1}{\sin^2 5\beta} = \frac{\sin^2 5\beta - 1}{\sin^2 5\beta}$
Из основного тождества следует, что $\sin^2 5\beta - 1 = -\cos^2 5\beta$.
$\frac{-\cos^2 5\beta}{\sin^2 5\beta} = -ctg^2 5\beta$
Ответ: $-ctg^2 5\beta$.

2) Используем тождество $tg x \cdot ctg x = 1$. Для аргумента $6\alpha$ оно выглядит как $tg 6\alpha \cdot ctg 6\alpha = 1$.
Подставим это в исходное выражение:
$ctg^2 2\alpha + tg 6\alpha \cdot ctg 6\alpha = ctg^2 2\alpha + 1$
Используем тождество $1 + ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.
$ctg^2 2\alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 2\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 2\alpha}$.

3) Сначала упростим выражение в скобках в числителе, используя основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 2\alpha - 1 = -\sin^2 2\alpha$.
Подставим это в числитель:
$1 + ctg^2 2\alpha (\cos^2 2\alpha - 1) = 1 + ctg^2 2\alpha (-\sin^2 2\alpha)$
Заменим $ctg^2 2\alpha$ на $\frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$:
$1 + \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} (-\sin^2 2\alpha) = 1 - \cos^2 2\alpha$
Снова используя основное тождество, получаем $1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.
Теперь все выражение принимает вид:
$\frac{\sin^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} = 1$
Ответ: $1$.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла β, если $tg\beta = -3$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Условие $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ означает, что угол $\beta$ находится во второй четверти. В этой четверти $\sin\beta > 0$, а $\cos\beta < 0$.
1. Найдем $ctg\beta$:
$ctg\beta = \frac{1}{tg\beta} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
2. Найдем $\cos\beta$ из тождества $1 + tg^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$:
$1 + (-3)^2 = \frac{1}{\cos^2\beta} \implies 1 + 9 = \frac{1}{\cos^2\beta} \implies 10 = \frac{1}{\cos^2\beta} \implies \cos^2\beta = \frac{1}{10}$.
Так как $\beta$ во второй четверти, $\cos\beta < 0$, поэтому $\cos\beta = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
3. Найдем $\sin\beta$ из тождества $tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$:
$\sin\beta = tg\beta \cdot \cos\beta = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Проверяем знак: $\sin\beta > 0$, что соответствует второй четверти.
Ответ: $\sin\beta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\beta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $ctg\beta = -\frac{1}{3}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha$
Используем тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ для выражения через одну функцию:
$\sin^2\alpha - 4(1 - \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha - 4 + 4\sin^2\alpha = 5\sin^2\alpha - 4$.
Значения $\sin^2\alpha$ лежат в диапазоне $[0, 1]$.
Наименьшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 0$: $5 \cdot 0 - 4 = -4$.
Наибольшее значение достигается при $\sin^2\alpha = 1$: $5 \cdot 1 - 4 = 1$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-4$.

2) $6\cos^2\alpha - 3tg^2\alpha\cos^2\alpha$
Заменим $tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$:
$6\cos^2\alpha - 3\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cos^2\alpha = 6\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$.
Используем тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ для выражения через одну функцию:
$6\cos^2\alpha - 3(1 - \cos^2\alpha) = 6\cos^2\alpha - 3 + 3\cos^2\alpha = 9\cos^2\alpha - 3$.
Значения $\cos^2\alpha$ лежат в диапазоне $[0, 1]$.
Наименьшее значение достигается при $\cos^2\alpha = 0$: $9 \cdot 0 - 3 = -3$.
Наибольшее значение достигается при $\cos^2\alpha = 1$: $9 \cdot 1 - 3 = 6$.
Ответ: наибольшее значение $6$, наименьшее значение $-3$.

4. Упростите выражение $\sqrt{\sin^2\alpha(1 - ctg\alpha) + \cos^2\alpha(1 - tg\alpha)}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Сначала упростим подкоренное выражение, заменив $ctg\alpha$ и $tg\alpha$ через синус и косинус:
$\sin^2\alpha(1 - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos^2\alpha(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$
Раскроем скобки:
$\sin^2\alpha - \sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - \cos\alpha\sin\alpha$
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha$
Используя основное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем $1 - \sin(2\alpha)$.
Выражение также можно представить как полный квадрат: $\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = |\sin\alpha - \cos\alpha|$.
По условию $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй четверти. В этой четверти $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$.
Следовательно, разность $\sin\alpha - \cos\alpha$ будет разностью положительного и отрицательного числа: $(\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$.
Так как выражение $\sin\alpha - \cos\alpha$ положительно, модуль можно опустить:
$|\sin\alpha - \cos\alpha| = \sin\alpha - \cos\alpha$.
Ответ: $\sin\alpha - \cos\alpha$.

Самостоятельная работа № 25

Формулы сложения

1. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}$;

2) $\frac{\sin 21^\circ \cos 28^\circ + \cos 21^\circ \sin 28^\circ}{\cos 18^\circ \cos 31^\circ - \sin 18^\circ \sin 31^\circ}$.

2. Докажите тождество $\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \text{ctg} \alpha = \text{ctg} \alpha$.

3. Найдите $\text{ctg} 75^\circ$.

4. Дано: $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\cos(\alpha + 45^\circ)$.

5. Найдите наименьшее значение выражения $8\cos\alpha - 15\sin\alpha$.

6. Постройте график функции $y = \frac{\text{tg} 4x - \text{tg} 2x}{1 + \text{tg} 4x \text{tg} 2x}$.

1)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

$\sin(45° + \alpha) = \sin 45° \cos \alpha + \cos 45° \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha)$

$\cos(45° + \alpha) = \cos 45° \cos \alpha - \sin 45° \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\sin(45° + \alpha) - \cos(45° + \alpha)}{\sin(45° + \alpha) + \cos(45° + \alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)}$

Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в числителе и знаменателе и сократим его:

$\frac{(\cos \alpha + \sin \alpha) - (\cos \alpha - \sin \alpha)}{(\cos \alpha + \sin \alpha) + (\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha}{2 \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$

Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.

2)

В числителе дроби применим формулу синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

$\sin 21° \cos 28° + \cos 21° \sin 28° = \sin(21° + 28°) = \sin 49°$.

В знаменателе дроби применим формулу косинуса суммы: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

$\cos 18° \cos 31° - \sin 18° \sin 31° = \cos(18° + 31°) = \cos 49°$.

Тогда исходное выражение равно:

$\frac{\sin 49°}{\cos 49°} = \operatorname{tg} 49°$

Ответ: $\operatorname{tg} 49°$.

2.

Предположим, что в условии опечатка и тождество выглядит так: $\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha$.

Докажем его, преобразовав левую часть. Используем формулы двойного угла и определение котангенса:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$2 \sin \alpha \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Приведем к общему знаменателю $\sin \alpha$:

$\frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha + \cos^3 \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Упростим числитель:

$\frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$\frac{\cos \alpha \cdot 1}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3.

Представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Воспользуемся формулой котангенса суммы:

$\operatorname{ctg}(A+B) = \frac{\operatorname{ctg} A \operatorname{ctg} B - 1}{\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} B}$

$\operatorname{ctg} 75° = \operatorname{ctg}(45° + 30°) = \frac{\operatorname{ctg} 45° \cdot \operatorname{ctg} 30° - 1}{\operatorname{ctg} 45° + \operatorname{ctg} 30°}$

Мы знаем, что $\operatorname{ctg} 45° = 1$ и $\operatorname{ctg} 30° = \sqrt{3}$. Подставим эти значения:

$\operatorname{ctg} 75° = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$\frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

4.

Нам нужно найти $\cos(\alpha + 45°)$. По формуле косинуса суммы:

$\cos(\alpha + 45°) = \cos \alpha \cos 45° - \sin \alpha \sin 45°$

Нам дано $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$. Мы знаем, что $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Нужно найти $\sin \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

По условию $90° < \alpha < 180°$, это вторая четверть, где синус положителен. Поэтому:

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

Теперь подставляем все значения в формулу для $\cos(\alpha + 45°)$:

$\cos(\alpha + 45°) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{26} - \frac{12\sqrt{2}}{26} = \frac{-5\sqrt{2} - 12\sqrt{2}}{26} = -\frac{17\sqrt{2}}{26}$

Ответ: $-\frac{17\sqrt{2}}{26}$.

5.

Выражение вида $a \cos \alpha + b \sin \alpha$ можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла.

$8 \cos \alpha - 15 \sin \alpha = \sqrt{8^2 + (-15)^2} \left( \frac{8}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} \cos \alpha - \frac{15}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} \sin \alpha \right)$

$\sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

Выражение принимает вид:

$17 \left( \frac{8}{17} \cos \alpha - \frac{15}{17} \sin \alpha \right)$

Пусть существует такой угол $\phi$, что $\cos \phi = \frac{8}{17}$ и $\sin \phi = \frac{15}{17}$. Тогда выражение в скобках можно записать как:

$\cos \phi \cos \alpha - \sin \phi \sin \alpha = \cos(\alpha + \phi)$

Таким образом, исходное выражение равно $17 \cos(\alpha + \phi)$.

Наименьшее значение функции косинус равно $-1$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $17 \cdot (-1) = -17$.

Ответ: $-17$.

6.

Данная функция $y = \frac{\operatorname{tg} 4x - \operatorname{tg} 2x}{1 + \operatorname{tg} 4x \operatorname{tg} 2x}$.

Выражение в правой части соответствует формуле тангенса разности: $\operatorname{tg}(A - B) = \frac{\operatorname{tg} A - \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B}$.

Применяя эту формулу, получаем: $y = \operatorname{tg}(4x - 2x) = \operatorname{tg}(2x)$.

Однако, область определения исходной функции отличается от области определения функции $y = \operatorname{tg}(2x)$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходной функции:

1. Аргументы тангенсов должны быть определены:

$\cos(4x) \neq 0 \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\cos(2x) \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$1 + \operatorname{tg} 4x \operatorname{tg} 2x \neq 0$. Это условие нарушается, если $\operatorname{tg} 4x \operatorname{tg} 2x = -1$, что эквивалентно $\cos(4x-2x) = \cos(2x) = 0$. Это совпадает с одним из предыдущих условий: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Итак, график функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ имеет выколотые точки при $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$.

Найдем координаты этих выколотых точек:

При $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, значение функции было бы $y = \operatorname{tg}\left(2\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}\right)\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\right)$.

Если $k$ — четное число ($k=2m$), то $y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} + \pi m) = 1$.

Если $k$ — нечетное число ($k=2m+1$), то $y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} + \pi m + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Ответ: Графиком функции является график функции $y = \operatorname{tg}(2x)$ с выколотыми точками. Это тангенсоида с периодом $T = \frac{\pi}{2}$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. Выколотые точки имеют координаты: $(\frac{\pi}{8} + \pi m, 1)$, $(\frac{3\pi}{8} + \pi m, -1)$, $(\frac{5\pi}{8} + \pi m, 1)$, $(\frac{7\pi}{8} + \pi m, -1)$ и так далее, для всех $m \in \mathbb{Z}$.