Страница 38 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Тригонометрические функции

числового аргумента

1) $8\cos 90^\circ - 7\cos 180^\circ + 3\sin 270^\circ$;

2) $\sin \pi + 2\cos \pi + 5\operatorname{tg} \pi$;

3) $\frac{2\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{2}}{(\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} 0)\cos \frac{\pi}{6}}$.

1) $7\cos\alpha - 3$;

2) $5 - \sin^2 \alpha$;

3) $\frac{\cos\alpha(5 + \sin\alpha)}{\cos\alpha}$.

1) $1 - \operatorname{ctg}^4 x$;

2) $\frac{1}{3 + \cos 2x}$;

3) $\frac{1}{1 - \sin 3x}$.

1.

1) Для вычисления значения выражения $8\cos 90^\circ - 7\cos 180^\circ + 3\sin 270^\circ$ используем известные значения тригонометрических функций:
$\cos 90^\circ = 0$
$\cos 180^\circ = -1$
$\sin 270^\circ = -1$
Подставляем эти значения в выражение:
$8 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = 0 + 7 - 3 = 4$.
Ответ: 4

2) Для вычисления значения выражения $\sin \pi + 2\cos \pi + 5\tan \pi$ используем известные значения тригонометрических функций:
$\sin \pi = 0$
$\cos \pi = -1$
$\tan \pi = 0$
Подставляем эти значения в выражение:
$0 + 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = 0 - 2 + 0 = -2$.
Ответ: -2

3) Для вычисления значения выражения $\frac{2\tan\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2}}{(\tan\frac{\pi}{6} - \tan 0)\cos\frac{\pi}{6}}$ найдем значения тригонометрических функций:
$\tan\frac{\pi}{4} = 1$
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$
$\tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan 0 = 0$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Вычислим числитель: $2\tan\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 1 - (-1) = 3$.
Вычислим знаменатель: $(\tan\frac{\pi}{6} - \tan 0)\cos\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{3} - 0) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Найдем значение дроби: $\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$.
Ответ: 6

2.

1) Рассмотрим выражение $7\cos\alpha - 3$. Область значений функции $\cos\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на 7: $7 \cdot (-1) \le 7\cos\alpha \le 7 \cdot 1 \implies -7 \le 7\cos\alpha \le 7$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства: $-7 - 3 \le 7\cos\alpha - 3 \le 7 - 3 \implies -10 \le 7\cos\alpha - 3 \le 4$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -10, а наибольшее — 4.
Ответ: Наименьшее значение: -10, наибольшее значение: 4.

2) Рассмотрим выражение $5 - \sin^2\alpha$. Область значений функции $\sin\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда область значений для $\sin^2\alpha$ — это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на -1, меняя знаки неравенства на противоположные: $-1 \le -\sin^2\alpha \le 0$.
Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5 - 1 \le 5 - \sin^2\alpha \le 5 + 0 \implies 4 \le 5 - \sin^2\alpha \le 5$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 4, а наибольшее — 5.
Ответ: Наименьшее значение: 4, наибольшее значение: 5.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\cos\alpha(5 + \sin\alpha)}{\cos\alpha}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения определяется условием $\cos\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n$.
На ОДЗ выражение можно сократить до $5 + \sin\alpha$.
Из условия $\cos\alpha \neq 0$ следует, что $\sin\alpha \neq 1$ и $\sin\alpha \neq -1$. Таким образом, значения синуса лежат в интервале $(-1, 1)$, то есть $-1 < \sin\alpha < 1$.
Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5 - 1 < 5 + \sin\alpha < 5 + 1 \implies 4 < 5 + \sin\alpha < 6$.
Поскольку значения 4 и 6 не достигаются, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
Ответ: Наибольшего и наименьшего значений не существует.

3.

1) Рассмотрим выражение $1 - \operatorname{ctg}^4 x$. Область значений функции $\operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.
Поскольку показатель степени 4 является четным, $\operatorname{ctg}^4 x$ может принимать любые неотрицательные значения. Область значений $\operatorname{ctg}^4 x$ — это $[0, +\infty)$.
$0 \le \operatorname{ctg}^4 x < +\infty$.
Умножим на -1, изменив знаки неравенства: $-\infty < -\operatorname{ctg}^4 x \le 0$.
Прибавим 1: $-\infty < 1 - \operatorname{ctg}^4 x \le 1$.
Область значений выражения — $(-\infty, 1]$.
Ответ: $(-\infty, 1]$

2) Рассмотрим выражение $\frac{1}{3 + \cos 2x}$. Сначала найдем область значений знаменателя $3 + \cos 2x$.
Область значений $\cos 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$.
Прибавим 3: $3 - 1 \le 3 + \cos 2x \le 3 + 1 \implies 2 \le 3 + \cos 2x \le 4$.
Так как знаменатель принимает значения на отрезке $[2, 4]$, то обратная величина будет принимать значения на отрезке $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$.
Область значений выражения — $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$.
Ответ: $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

3) Рассмотрим выражение $\frac{1}{1 - \sin 3x}$. Сначала найдем область значений знаменателя $1 - \sin 3x$.
Область значений $\sin 3x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin 3x \le 1$.
Умножим на -1, изменив знаки: $-1 \le -\sin 3x \le 1$.
Прибавим 1: $1 - 1 \le 1 - \sin 3x \le 1 + 1 \implies 0 \le 1 - \sin 3x \le 2$.
Выражение не определено, когда знаменатель равен 0, то есть при $\sin 3x = 1$. Поэтому знаменатель $1 - \sin 3x$ принимает значения из полуинтервала $(0, 2]$.
Когда знаменатель стремится к 0 (справа), значение дроби стремится к $+\infty$.
Когда знаменатель равен 2 (при $\sin 3x = -1$), значение дроби равно $\frac{1}{2}$.
Область значений выражения — $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$

Самостоятельная работа № 20

Знаки значений тригонометрических функций. Чётность и нечётность тригонометрических функций

1. Найдите значение выражения

$2\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3\cos(-\pi) + 6\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right).$

2. Сравните:

1) $\sin 156^\circ$ и $\cos 256^\circ$;

2) $\text{ctg} 220^\circ$ и $\text{tg}(-220^\circ)$;

3) $\sin \frac{7\pi}{4}$ и $\cos \frac{11\pi}{6}$;

4) $\cos 3$ и $\sin 1$.

3. Углом какой координатной четверти является угол $\alpha$, если;

1) $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$;

2) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$?

4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x \sin x}{2 + \cos x}$;

2) $f(x) = \frac{\text{ctg} x}{|x| - 5}$;

3) $f(x) = \frac{(x + 1) \sin x}{x + 1}$.

1. Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также их табличными значениями.
Функция синус – нечетная: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Функция котангенс – нечетная: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
Функция косинус – четная: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Вычислим значения отдельных тригонометрических функций:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$
$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$
$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:
$2\sin^2(-\frac{\pi}{6})\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 3\cos(-\pi) + 6\cos^2(-\frac{\pi}{4}) = 2(-\frac{1}{2})^2 \cdot (-1) + 3(-1) + 6(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-1) - 3 + 6 \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \cdot (-1) - 3 + 6 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - 3 + 3 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2.
1) $\sin 156^\circ$ и $\cos 256^\circ$
Угол $156^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$), где синус положителен. Значит, $\sin 156^\circ > 0$.
Угол $256^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 256^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен. Значит, $\cos 256^\circ < 0$.
Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\sin 156^\circ > \cos 256^\circ$.
Ответ: $\sin 156^\circ > \cos 256^\circ$.

2) $\text{ctg} 220^\circ$ и $\text{tg}(-220^\circ)$
Тангенс — нечетная функция: $\text{tg}(-220^\circ) = -\text{tg}(220^\circ)$.
Угол $220^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 220^\circ < 270^\circ$), где и тангенс, и котангенс положительны.
Значит, $\text{ctg} 220^\circ > 0$ и $\text{tg}(220^\circ) > 0$.
Следовательно, $-\text{tg}(220^\circ) < 0$.
Так как $\text{ctg} 220^\circ$ — положительное число, а $\text{tg}(-220^\circ)$ — отрицательное, то $\text{ctg} 220^\circ > \text{tg}(-220^\circ)$.
Ответ: $\text{ctg} 220^\circ > \text{tg}(-220^\circ)$.

3) $\sin \frac{7\pi}{4}$ и $\cos \frac{11\pi}{6}$
Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой координатной четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$), где синус отрицателен. $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой координатной четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$), где косинус положителен. $\cos \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отрицательное число всегда меньше положительного, следовательно, $\sin \frac{7\pi}{4} < \cos \frac{11\pi}{6}$.
Ответ: $\sin \frac{7\pi}{4} < \cos \frac{11\pi}{6}$.

4) $\cos 3$ и $\sin 1$
Углы даны в радианах. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Для угла $1$ радиан: $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, это первая координатная четверть, где синус положителен. Значит, $\sin 1 > 0$.
Для угла $3$ радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, это вторая координатная четверть, где косинус отрицателен. Значит, $\cos 3 < 0$.
Положительное число больше отрицательного, следовательно, $\cos 3 < \sin 1$.
Ответ: $\cos 3 < \sin 1$.

3.
1) $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$
Из условия $\cos \alpha < 0$ следует, что угол $\alpha$ находится во II или III координатной четверти.
Из условия $\sin \alpha \cos \alpha < 0$ и того, что $\cos \alpha < 0$, следует, что $\sin \alpha$ должен быть положительным ($\sin \alpha > 0$).
Синус положителен в I и II координатных четвертях.
Оба условия ($\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha > 0$) выполняются одновременно только во II координатной четверти.
Ответ: II четверть.

2) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$
Равенство $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ выполняется тогда и только тогда, когда $\cos \alpha \le 0$.
Из условия $\sin \alpha \cos \alpha > 0$ следует, что $\cos \alpha \neq 0$, значит, $\cos \alpha < 0$. Это соответствует II и III координатным четвертям.
Из условия $\sin \alpha \cos \alpha > 0$ и того, что $\cos \alpha < 0$, следует, что $\sin \alpha$ также должен быть отрицательным ($\sin \alpha < 0$).
Синус отрицателен в III и IV координатных четвертях.
Оба условия ($\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha < 0$) выполняются одновременно только в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

4.
1) $f(x) = \frac{x \sin x}{2 + \cos x}$
Область определения функции $D(f)$: знаменатель $2 + \cos x$ никогда не равен нулю, так как $-1 \le \cos x \le 1$, следовательно, $1 \le 2+\cos x \le 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, область определения симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{2 + \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{2 + \cos x} = \frac{x \sin x}{2 + \cos x} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

2) $f(x) = \frac{\text{ctg} x}{|x| - 5}$
Область определения $D(f)$: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $|x| - 5 \neq 0 \implies x \neq \pm 5$. Область определения симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\text{ctg}(-x)}{|-x| - 5} = \frac{-\text{ctg} x}{|x| - 5} = - \frac{\text{ctg} x}{|x| - 5} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

3) $f(x) = \frac{(x+1)\sin x}{x+1}$
Область определения $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=1$ входит в область определения, а точка $x=-1$ — нет).
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.