Номер 19, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Тригонометрические функции

числового аргумента

1) $8\cos 90^\circ - 7\cos 180^\circ + 3\sin 270^\circ$;

2) $\sin \pi + 2\cos \pi + 5\operatorname{tg} \pi$;

3) $\frac{2\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{2}}{(\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{tg} 0)\cos \frac{\pi}{6}}$.

1) $7\cos\alpha - 3$;

2) $5 - \sin^2 \alpha$;

3) $\frac{\cos\alpha(5 + \sin\alpha)}{\cos\alpha}$.

1) $1 - \operatorname{ctg}^4 x$;

2) $\frac{1}{3 + \cos 2x}$;

3) $\frac{1}{1 - \sin 3x}$.

1.

1) Для вычисления значения выражения $8\cos 90^\circ - 7\cos 180^\circ + 3\sin 270^\circ$ используем известные значения тригонометрических функций:
$\cos 90^\circ = 0$
$\cos 180^\circ = -1$
$\sin 270^\circ = -1$
Подставляем эти значения в выражение:
$8 \cdot 0 - 7 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) = 0 + 7 - 3 = 4$.
Ответ: 4

2) Для вычисления значения выражения $\sin \pi + 2\cos \pi + 5\tan \pi$ используем известные значения тригонометрических функций:
$\sin \pi = 0$
$\cos \pi = -1$
$\tan \pi = 0$
Подставляем эти значения в выражение:
$0 + 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 = 0 - 2 + 0 = -2$.
Ответ: -2

3) Для вычисления значения выражения $\frac{2\tan\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2}}{(\tan\frac{\pi}{6} - \tan 0)\cos\frac{\pi}{6}}$ найдем значения тригонометрических функций:
$\tan\frac{\pi}{4} = 1$
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$
$\tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan 0 = 0$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Вычислим числитель: $2\tan\frac{\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 1 - (-1) = 3$.
Вычислим знаменатель: $(\tan\frac{\pi}{6} - \tan 0)\cos\frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{3} - 0) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Найдем значение дроби: $\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$.
Ответ: 6

2.

1) Рассмотрим выражение $7\cos\alpha - 3$. Область значений функции $\cos\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на 7: $7 \cdot (-1) \le 7\cos\alpha \le 7 \cdot 1 \implies -7 \le 7\cos\alpha \le 7$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства: $-7 - 3 \le 7\cos\alpha - 3 \le 7 - 3 \implies -10 \le 7\cos\alpha - 3 \le 4$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -10, а наибольшее — 4.
Ответ: Наименьшее значение: -10, наибольшее значение: 4.

2) Рассмотрим выражение $5 - \sin^2\alpha$. Область значений функции $\sin\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда область значений для $\sin^2\alpha$ — это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.
Умножим все части неравенства на -1, меняя знаки неравенства на противоположные: $-1 \le -\sin^2\alpha \le 0$.
Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5 - 1 \le 5 - \sin^2\alpha \le 5 + 0 \implies 4 \le 5 - \sin^2\alpha \le 5$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 4, а наибольшее — 5.
Ответ: Наименьшее значение: 4, наибольшее значение: 5.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\cos\alpha(5 + \sin\alpha)}{\cos\alpha}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения определяется условием $\cos\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n$.
На ОДЗ выражение можно сократить до $5 + \sin\alpha$.
Из условия $\cos\alpha \neq 0$ следует, что $\sin\alpha \neq 1$ и $\sin\alpha \neq -1$. Таким образом, значения синуса лежат в интервале $(-1, 1)$, то есть $-1 < \sin\alpha < 1$.
Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5 - 1 < 5 + \sin\alpha < 5 + 1 \implies 4 < 5 + \sin\alpha < 6$.
Поскольку значения 4 и 6 не достигаются, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
Ответ: Наибольшего и наименьшего значений не существует.

3.

1) Рассмотрим выражение $1 - \operatorname{ctg}^4 x$. Область значений функции $\operatorname{ctg} x$ — это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$.
Поскольку показатель степени 4 является четным, $\operatorname{ctg}^4 x$ может принимать любые неотрицательные значения. Область значений $\operatorname{ctg}^4 x$ — это $[0, +\infty)$.
$0 \le \operatorname{ctg}^4 x < +\infty$.
Умножим на -1, изменив знаки неравенства: $-\infty < -\operatorname{ctg}^4 x \le 0$.
Прибавим 1: $-\infty < 1 - \operatorname{ctg}^4 x \le 1$.
Область значений выражения — $(-\infty, 1]$.
Ответ: $(-\infty, 1]$

2) Рассмотрим выражение $\frac{1}{3 + \cos 2x}$. Сначала найдем область значений знаменателя $3 + \cos 2x$.
Область значений $\cos 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$.
Прибавим 3: $3 - 1 \le 3 + \cos 2x \le 3 + 1 \implies 2 \le 3 + \cos 2x \le 4$.
Так как знаменатель принимает значения на отрезке $[2, 4]$, то обратная величина будет принимать значения на отрезке $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$.
Область значений выражения — $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$.
Ответ: $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

3) Рассмотрим выражение $\frac{1}{1 - \sin 3x}$. Сначала найдем область значений знаменателя $1 - \sin 3x$.
Область значений $\sin 3x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin 3x \le 1$.
Умножим на -1, изменив знаки: $-1 \le -\sin 3x \le 1$.
Прибавим 1: $1 - 1 \le 1 - \sin 3x \le 1 + 1 \implies 0 \le 1 - \sin 3x \le 2$.
Выражение не определено, когда знаменатель равен 0, то есть при $\sin 3x = 1$. Поэтому знаменатель $1 - \sin 3x$ принимает значения из полуинтервала $(0, 2]$.
Когда знаменатель стремится к 0 (справа), значение дроби стремится к $+\infty$.
Когда знаменатель равен 2 (при $\sin 3x = -1$), значение дроби равно $\frac{1}{2}$.
Область значений выражения — $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$