Номер 16, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Различные приёмы решения иррациональных уравнений и их систем

Решите уравнение (систему уравнений):

1) $\sqrt{x+2} = 2\sqrt[4]{x+2} + 3;$

2) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1;$

3) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0;$

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = -64; \end{cases}$

5) $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x} = 3.$

1) $\sqrt{x + 2} = 2\sqrt[4]{x + 2} + 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x + 2}$. Так как корень четвертой степени из неотрицательного числа является неотрицательным, то $t \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x + 2} = (\sqrt[4]{x + 2})^2 = t^2$. Подставим в исходное уравнение:

$t^2 = 2t + 3$

Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 3$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=3$:

$\sqrt[4]{x + 2} = 3$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x + 2})^4 = 3^4$

$x + 2 = 81$

$x = 79$

Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $79 \ge -2$. Корень подходит.

Ответ: 79.

2) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть строго положительными (так как одно из них находится в знаменателе после преобразования, а также правая часть не равна 0):

$\frac{2x}{x+1} > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратные. Введем замену: $t = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t - 2 \cdot \frac{1}{t} = 1$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t^2 - 2 = t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Согласно условию $t > 0$, нам подходит только $t_1 = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{2x}{x+1} = 4$

$2x = 4(x+1)$

$2x = 4x + 4$

$-2x = 4$

$x = -2$

Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $-2 \in (-\infty, -1)$. Корень подходит.

Ответ: -2.

3) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 2x + 4 \ge 0$.

Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 4$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, трехчлен положителен при любых $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Преобразуем левую часть уравнения: $3(x^2 - 2x) + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x^2 - 2x + 4}$. Так как $x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2+3 \ge 3$, то $t \ge \sqrt{3}$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - 2x + 4$, откуда $x^2 - 2x = t^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$3(t^2 - 4) + 2 - t = 0$

$3t^2 - 12 + 2 - t = 0$

$3t^2 - t - 10 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge \sqrt{3} \approx 1.732$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 > \sqrt{3}$).

$t_2 = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 2x + 4 = 4$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Ответ: 0; 2.

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = -64; \end{cases}$

ОДЗ для данной системы не требуется, так как кубический корень определен для любого действительного числа.

Введем замену: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда первое уравнение системы примет вид: $a + b = 3$.

Из второго уравнения системы $xy = -64$ следует, что $(\sqrt[3]{x})^3 (\sqrt[3]{y})^3 = -64$, то есть $a^3 b^3 = -64$, или $(ab)^3 = (-4)^3$. Отсюда $ab = -4$.

Получаем систему уравнений для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 3, \\ ab = -4; \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 3z - 4 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $z_1 = 4$, $z_2 = -1$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $a = 4, b = -1$.

2. $a = -1, b = 4$.

Выполним обратную замену для каждого случая:

1. $\sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 4^3 = 64$.

$\sqrt[3]{y} = -1 \implies y = (-1)^3 = -1$.

Получаем решение $(64, -1)$.

2. $\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$.

$\sqrt[3]{y} = 4 \implies y = 4^3 = 64$.

Получаем решение $(-1, 64)$.

Ответ: (64, -1), (-1, 64).

5) $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{8 - x} = 3$

ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$, так как кубический корень определен для любых действительных чисел.

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{x + 1})^3 + (\sqrt[3]{8 - x})^3 + 3\sqrt[3]{(x+1)(8-x)}(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x}) = 3^3$

$(x+1) + (8-x) + 3\sqrt[3]{(x+1)(8-x)}(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x}) = 27$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x})$ равно 3 по условию исходного уравнения. Подставим это значение:

$9 + 3\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} \cdot 3 = 27$

$9 + 9\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} = 27$

$9\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} = 18$

$\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} = 2$

Возведем обе части полученного уравнения в куб:

$(x+1)(8-x) = 2^3$

$8x - x^2 + 8 - x = 8$

$-x^2 + 7x = 0$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x-7) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Поскольку возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, проверка не обязательна, но мы можем ее выполнить для уверенности.

При $x=0$: $\sqrt[3]{0+1} + \sqrt[3]{8-0} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1+2 = 3$. Верно.

При $x=7$: $\sqrt[3]{7+1} + \sqrt[3]{8-7} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} = 2+1 = 3$. Верно.

Ответ: 0; 7.