Номер 11, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня n-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите $3\left(-\frac{10}{18}\right)^{10} - 1,4\sqrt[3]{1\,000\,000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[4]{80}\right)^4.$

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[7]{x-3})^7;$

2) $y = (\sqrt[8]{x+4})^8.$

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2;$

2) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}.$

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $a\sqrt[6]{x} = 0;$

2) $ax^6 = 3.$

5. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^7 + \sqrt[4]{x} = y^7 + \sqrt[4]{y}, \\ 7x^2 - y^2 = 24. \end{cases} $

1. Выполним вычисления по частям:
1) $3(-\sqrt[10]{18})^{10} = 3 \cdot (\sqrt[10]{18})^{10} = 3 \cdot 18 = 54$, так как показатель степени 10 — чётное число.
2) $1,4\sqrt[3]{1000000} = 1,4\sqrt[3]{100^3} = 1,4 \cdot 100 = 140$.
3) $(\frac{1}{2}\sqrt[4]{80})^4 = (\frac{1}{2})^4 \cdot (\sqrt[4]{80})^4 = \frac{1}{16} \cdot 80 = \frac{80}{16} = 5$.
Теперь сложим полученные результаты: $54 - 140 + 5 = -86 + 5 = -81$.
Ответ: $-81$.

2.

1) $y = (\sqrt[7]{x-3})^7$
Поскольку корень нечётной степени (7), область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt[7]{a})^7 = a$.
Следовательно, функция принимает вид $y = x-3$.
Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(3, 0)$ и $(0, -3)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=x-3$.

2) $y = (\sqrt[8]{x+4})^8$
Поскольку корень чётной степени (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Область определения функции (ОДЗ): $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt[8]{a})^8 = a$.
Следовательно, функция принимает вид $y = x+4$ при условии $x \ge -4$.
Графиком является луч, выходящий из точки $(-4, 0)$ и являющийся частью прямой $y=x+4$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=x+4$ с началом в точке $(-4, 0)$.

3.

1) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2$
Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным:
$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{3x+1})^4 \le 2^4$
$3x+1 \le 16$
$3x \le 15$
$x \le 5$
Объединяя с ОДЗ, получаем решение: $-\frac{1}{3} \le x \le 5$.
Ответ: $[-\frac{1}{3}; 5]$.

2) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}$
Найдём ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x^2-6 \ge 0 \\ 5x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty) \\ x \ge 0 \end{cases}$
Пересечение этих условий даёт ОДЗ: $x \ge \sqrt{6}$.
Возведём обе части неравенства в 10-ю степень:
$x^2-6 > 5x$
$x^2-5x-6 > 0$
Найдём корни уравнения $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=6$ и $x_2=-1$.
Решение неравенства $x^2-5x-6 > 0$ — это $x \in (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$.
Пересекаем это решение с ОДЗ ($x \ge \sqrt{6}$):
Так как $\sqrt{6} \approx 2,45$, пересечением является интервал $(6, \infty)$.
Ответ: $(6; +\infty)$.

4.

1) $a\sqrt[6]{x} = 0$
Рассмотрим два случая.
Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[6]{x} = 0$, или $0=0$. Это верное равенство для всех $x$, при которых выражение $\sqrt[6]{x}$ определено, то есть для $x \ge 0$.
Если $a \ne 0$, можно разделить обе части уравнения на $a$:
$\sqrt[6]{x} = 0$
Возведя обе части в 6-ю степень, получаем $x=0$.
Ответ: если $a=0$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \ne 0$, то $x=0$.

2) $ax^6 = 3$
Рассмотрим разные значения параметра $a$.
Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^6 = 3$, или $0=3$, что неверно. Следовательно, решений нет.
Если $a \ne 0$, разделим обе части на $a$:
$x^6 = \frac{3}{a}$
Левая часть уравнения, $x^6$, всегда неотрицательна. Поэтому для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $\frac{3}{a} \ge 0$. Так как $3>0$, это условие выполняется при $a>0$.
Если $a > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = \pm \sqrt[6]{\frac{3}{a}}$.
Если $a < 0$, то правая часть отрицательна, и действительных корней нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x = \pm \sqrt[6]{\frac{3}{a}}$; если $a \le 0$, то решений нет.

5. Решите систему уравнений $\begin{cases} x^7 + \sqrt[4]{x} = y^7 + \sqrt[4]{y}, \\ 7x^2 - y^2 = 24. \end{cases}$
Из наличия корней четвёртой степени $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[4]{y}$ следует ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Рассмотрим функцию $f(t) = t^7 + \sqrt[4]{t}$ на области определения $t \ge 0$.
Первое уравнение системы можно записать как $f(x) = f(y)$.
Найдём производную функции: $f'(t) = 7t^6 + \frac{1}{4}t^{-3/4} = 7t^6 + \frac{1}{4\sqrt[4]{t^3}}$.
При $t>0$ оба слагаемых в производной положительны, значит $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.
Из того, что функция строго возрастающая, равенство $f(x)=f(y)$ возможно только при $x=y$.
Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:
$7x^2 - x^2 = 24$
$6x^2 = 24$
$x^2 = 4$
$x = 2$ или $x = -2$.
Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x=-2$ является посторонним.
Таким образом, $x=2$. Поскольку $y=x$, то $y=2$.
Проверим решение $(2, 2)$:
1) $2^7 + \sqrt[4]{2} = 2^7 + \sqrt[4]{2}$ (верно)
2) $7(2^2) - 2^2 = 7 \cdot 4 - 4 = 28 - 4 = 24$ (верно)
Ответ: $(2; 2)$.