Номер 15, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $\sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7}$

2) $\sqrt{x + 7} = 5 - x$

3) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24$

4) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$

5) $\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x - 8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 8}} = 2$

1) $\sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7}$

Так как показатели корней чётные (8), то для существования корней в действительных числах подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Равенство корней одинаковой степени равносильно равенству подкоренных выражений. Таким образом, уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 3x - 1 = x^2 + 8x - 7 \\ 3x - 1 \ge 0 \end{cases} $

Условие $x^2 + 8x - 7 \ge 0$ будет выполнено автоматически, так как $x^2 + 8x - 7 = 3x - 1$, а мы уже требуем, чтобы $3x - 1$ было неотрицательным.

Решим уравнение:

$x^2 + 8x - 7 - 3x + 1 = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -6. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Теперь проверим корни по условию $3x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{3}$.

Для $x_1 = 1$: $1 \ge \frac{1}{3}$. Условие выполняется, корень подходит.

Для $x_2 = -6$: $-6 \ge \frac{1}{3}$. Условие не выполняется, это посторонний корень.

Ответ: $1$

2) $\sqrt{x + 7} = 5 - x$

Данное уравнение равносильно системе, в которой мы возводим обе части в квадрат и требуем, чтобы правая часть была неотрицательной (так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным):

$ \begin{cases} x + 7 = (5 - x)^2 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы получаем условие: $x \le 5$.

Решим первое уравнение системы:

$x + 7 = 25 - 10x + x^2$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 18. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \le 5$:

$x_1 = 2$: $2 \le 5$. Условие выполняется, корень подходит.

$x_2 = 9$: $9 \le 5$. Условие не выполняется, это посторонний корень.

Ответ: $2$

3) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24$

Преобразуем правую часть уравнения: $6x - 24 = 6(x-4)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x-4)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x-4)$:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x-4) = 0$

$(x - 4)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Проверим, определен ли корень при этом значении $x$: $x^2 - x - 20 = 4^2 - 4 - 20 = 16 - 24 = -8$. Подкоренное выражение отрицательно, значит, $x=4$ не является решением.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого случая: $x^2 - x - 20 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$ равны $x_1=5$ и $x_2=-4$. Так как ветви параболы направлены вверх, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 - x - 20} = 6$ в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -7$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ:

$x_1 = 8$: $8 \in [5, \infty)$. Корень подходит.

$x_2 = -7$: $-7 \in (-\infty, -4]$. Корень подходит.

Ответ: $-7; 8$

4) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow x \ge 2$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x + 6} = 2 + \sqrt{x - 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 6})^2 = (2 + \sqrt{x - 2})^2$

$x + 6 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + (x - 2)$

$x + 6 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2}$

Приведем подобные слагаемые:

$4 = 4\sqrt{x - 2}$

$1 = \sqrt{x - 2}$

Снова возведем в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 2})^2$

$1 = x - 2$

$x = 3$

Проверим корень $x=3$ на принадлежность ОДЗ: $3 \ge 2$. Условие выполняется. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3 + 6} - \sqrt{3 - 2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$. Равенство $2=2$ верное.

Ответ: $3$

5) $\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x - 8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 8}} = 2$

ОДЗ: $x - 8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8$. Также выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.

Заметим, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов. Сделаем замену: пусть $y = \sqrt{x-8}$, где $y \ge 0$. Тогда $y^2 = x - 8 \Rightarrow x = y^2 + 8$.

Подставим это в выражения под внешними корнями:

Первое выражение: $x - 4 + 4\sqrt{x - 8} = (y^2 + 8) - 4 + 4y = y^2 + 4y + 4 = (y+2)^2$.

Второе выражение: $x - 4 - 4\sqrt{x - 8} = (y^2 + 8) - 4 - 4y = y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(y+2)^2} - \sqrt{(y-2)^2} = 2$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|y+2| - |y-2| = 2$

Поскольку $y = \sqrt{x-8} \ge 0$, то $y+2$ всегда положительно, и $|y+2| = y+2$.

$y+2 - |y-2| = 2$

$y - |y-2| = 0 \Rightarrow y = |y-2|$

Это уравнение означает, что $y$ неотрицательно (что мы уже знаем) и $y = \pm(y-2)$.

1) $y = y - 2 \Rightarrow 0 = -2$. Решений нет.

2) $y = -(y - 2) \Rightarrow y = -y + 2 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.

Мы нашли единственное возможное значение для $y$. Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x-8} = 1$

Возведем в квадрат: $x-8 = 1 \Rightarrow x = 9$.

Проверим корень. $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 8$). Подставим в исходное уравнение:

$\sqrt{9 - 4 + 4\sqrt{9 - 8}} - \sqrt{9 - 4 - 4\sqrt{9 - 8}} = \sqrt{5 + 4\sqrt{1}} - \sqrt{5 - 4\sqrt{1}} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

Равенство $2=2$ верное.

Ответ: $9$