Номер 17, страница 37 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$;

2) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$;

3) $\sqrt{2x+14} \ge x+3$;

4) $(5-2x)\sqrt{x-1} \le 0$.

2. Для каждого значения параметра a решите неравенство

$a\sqrt{x+1} < 1$.

1)

Решим неравенство $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$.

Данное неравенство равносильно системе, в которой мы требуем, чтобы подкоренное выражение с меньшим значением было неотрицательным, и чтобы одно подкоренное выражение было больше другого:

$ \begin{cases} x+5 > 8-x, \\ 8-x \ge 0. \end{cases} $

Условие $x+5 \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует $x+5 > 8-x \ge 0$.

Решим первое неравенство системы:

$x+5 > 8-x$

$2x > 3$

$x > 1.5$

Решим второе неравенство системы:

$8-x \ge 0$

$x \le 8$

Найдем пересечение решений: $x > 1.5$ и $x \le 8$.

Таким образом, решение неравенства: $1.5 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (1.5, 8]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0, \\ f(x) \le (g(x))^2. \end{cases} $

В нашем случае система выглядит так:

$ \begin{cases} 2x^2-11x+9 \ge 0, \\ x-3 \ge 0, \\ 2x^2-11x+9 \le (x-3)^2. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $2x^2-11x+9 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2-11x+9 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$. Корни $x_1 = \frac{11-7}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{11+7}{4} = 4.5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty)$.

2. $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Решение: $x \in [3, \infty)$.

3. $2x^2-11x+9 \le (x-3)^2 \implies 2x^2-11x+9 \le x^2-6x+9 \implies x^2-5x \le 0 \implies x(x-5) \le 0$. Корни $x=0$ и $x=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [0, 5]$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $( (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty) ) \cap [3, \infty) \cap [0, 5]$.

Пересечение первых двух множеств дает $[4.5, \infty)$.

Пересечение $[4.5, \infty)$ и $[0, 5]$ дает $[4.5, 5]$.

Ответ: $x \in [4.5, 5]$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{2x+14} \ge x+3$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x+3 < 0, \\ 2x+14 \ge 0; \end{cases} \\ \\ \begin{cases} x+3 \ge 0, \\ 2x+14 \ge (x+3)^2. \end{cases} \end{array} \right. $

Рассмотрим первую систему. Она описывает случай, когда правая часть отрицательна (тогда неравенство выполняется при всех $x$ из области определения корня).

$ \begin{cases} x < -3, \\ x \ge -7; \end{cases} \implies x \in [-7, -3). $

Рассмотрим вторую систему. Она описывает случай, когда обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат.

$ \begin{cases} x \ge -3, \\ 2x+14 \ge x^2+6x+9; \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ x^2+4x-5 \le 0. \end{cases} $

Решим неравенство $x^2+4x-5 \le 0$. Корни уравнения $x^2+4x-5 = 0$ равны $x_1=-5$ и $x_2=1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение $x \in [-5, 1]$.

Пересекая это решение с условием $x \ge -3$, получаем $x \in [-3, 1]$.

Объединим решения обеих систем: $[-7, -3) \cup [-3, 1]$.

Объединенное решение: $x \in [-7, 1]$.

Ответ: $x \in [-7, 1]$.

4)

Решим неравенство $(5-2x)\sqrt{x-1} \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется подкоренным выражением: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

На ОДЗ множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).

Произведение двух множителей не положительно, если они имеют разные знаки, или если один из них равен нулю. Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, неравенство выполняется в двух случаях:

1. $\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

2. $5-2x \le 0$ (при условии, что $x$ входит в ОДЗ).

$5 \le 2x \implies x \ge 2.5$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Объединяя все найденные решения, получаем: $x=1$ или $x \ge 2.5$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2.5, \infty)$.

2.

Для каждого значения параметра $a$ решим неравенство $a\sqrt{x+1} < 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

Случай 1: $a=0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x+1} < 1$, что равносильно $0 < 1$. Это верное числовое неравенство, поэтому решением является вся область допустимых значений.

Решение: $x \in [-1, \infty)$.

Случай 2: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, знак неравенства не изменится:

$\sqrt{x+1} < \frac{1}{a}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$x+1 < \frac{1}{a^2}$.

$x < \frac{1}{a^2} - 1$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge -1$), получаем решение для этого случая:

$-1 \le x < \frac{1}{a^2} - 1$.

Решение: $x \in [-1, \frac{1}{a^2}-1)$.

Случай 3: $a < 0$.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $a$, знак неравенства изменится на противоположный:

$\sqrt{x+1} > \frac{1}{a}$.

Так как $a < 0$, то $\frac{1}{a} < 0$. Левая часть неравенства $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна на ОДЗ. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Решение: $x \in [-1, \infty)$.

Объединим результаты:

Ответ:
если $a \le 0$, то $x \in [-1, \infty)$;
если $a > 0$, то $x \in [-1, \frac{1}{a^2}-1)$.