Номер 23, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 48^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 48^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 56^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 27^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg} 38^{\circ}$ и $\sin 85^{\circ}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -3\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \operatorname{tg} 3|x|$;

3) $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$.

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся из условия $\operatorname{ctg} x = 0$.
Это уравнение равносильно уравнению $\cos x = 0$ при условии $\sin x \neq 0$.
Решения уравнения $\cos x = 0$ имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем, какие из этих решений принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.
Для этого решим неравенство:
$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{2\pi}{3}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{2}{3}$
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$
$-\frac{2+3}{6} \le k \le \frac{4-3}{6}$
$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{1}{6}$
Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 0$.
При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
Это значение принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ - это все действительные числа, кроме тех, для которых $\sin x = 0$.
Решения уравнения $\sin x = 0$ имеют вид $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем, какие из этих чисел принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]$.
Решим неравенство:
$-\frac{\pi}{3} \le \pi n \le \frac{2\pi}{3}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{2}{3}$
Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 0$.
При $n=0$ получаем $x = \pi \cdot 0 = 0$.
Это значение принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $0$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 48^\circ$ и $\operatorname{tg} 48^\circ$;

Угол $48^\circ$ находится в первой четверти, где значения тангенса и котангенса положительны.
Известно, что $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ и $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, а функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на этом же интервале.
Так как $48^\circ > 45^\circ$, то:
$\operatorname{tg} 48^\circ > \operatorname{tg} 45^\circ = 1$
$\operatorname{ctg} 48^\circ < \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$
Следовательно, $\operatorname{ctg} 48^\circ < 1 < \operatorname{tg} 48^\circ$.
Ответ: $\operatorname{ctg} 48^\circ < \operatorname{tg} 48^\circ$.

2) $\operatorname{tg} 56^\circ$ и $\operatorname{ctg} 27^\circ$;

Используем формулу приведения: $\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$.
$\operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 27^\circ) = \operatorname{tg} 63^\circ$.
Теперь задача сводится к сравнению $\operatorname{tg} 56^\circ$ и $\operatorname{tg} 63^\circ$.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ является возрастающей на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$.
Так как $56^\circ < 63^\circ$, то $\operatorname{tg} 56^\circ < \operatorname{tg} 63^\circ$.
Следовательно, $\operatorname{tg} 56^\circ < \operatorname{ctg} 27^\circ$.
Ответ: $\operatorname{tg} 56^\circ < \operatorname{ctg} 27^\circ$.

3) $\operatorname{ctg} 38^\circ$ и $\sin 85^\circ$.

Углы $38^\circ$ и $85^\circ$ находятся в первой четверти.
Рассмотрим значение $\operatorname{ctg} 38^\circ$. Так как $38^\circ < 45^\circ$, а функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает в первой четверти, то $\operatorname{ctg} 38^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.
Рассмотрим значение $\sin 85^\circ$. Функция $y = \sin x$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Так как $85^\circ \neq 90^\circ$, то $\sin 85^\circ < 1$.
Таким образом, мы имеем $\operatorname{ctg} 38^\circ > 1$ и $\sin 85^\circ < 1$.
Следовательно, $\operatorname{ctg} 38^\circ > \sin 85^\circ$.
Ответ: $\operatorname{ctg} 38^\circ > \sin 85^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

Построение графика функции $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ выполняется путем последовательных преобразований графика функции $y = \operatorname{tg} x$.
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$.
2. Сдвигаем его влево на $\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
3. Растягиваем полученный график вдоль оси OY в 3 раза. Получаем график функции $y = 3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
4. Отражаем последний график симметрично относительно оси OX. Получаем искомый график функции $y = -3\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Функция становится убывающей на каждом интервале определения.
Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x$, сдвинутый влево на $\frac{\pi}{3}$, растянутый по вертикали в 3 раза и отраженный относительно оси OX.

2) $y = \operatorname{tg} 3|x|$;

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{tg} 3|-x| = \operatorname{tg} 3|x| = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси OY.
Построение графика можно выполнить в два этапа:
1. Строим график функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$. Этот график получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем сжатия к оси OY в 3 раза. Период функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ равен $\frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты для $x \ge 0$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ для $k \ge 0$.
2. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$.
Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$, отраженный симметрично относительно оси OY.

3) $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, что соответствует $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.
2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$, что соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$ для $k \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. Функция принимает вид $y = -\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = -2\operatorname{ctg} x$.
Таким образом, искомый график состоит из:
- отрезков оси OX на промежутках $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$;
- частей графика функции $y = -2\operatorname{ctg} x$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$. График $y = -2\operatorname{ctg} x$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ отражением относительно оси OX и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.
Ответ: График состоит из отрезков оси абсцисс на интервалах, где $\operatorname{ctg} x \ge 0$, и частей графика $y = -2\operatorname{ctg} x$ на интервалах, где $\operatorname{ctg} x < 0$.