Номер 27, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $ \cos \alpha = 0,6 $, $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $. Найдите:

1) $ \sin 2\alpha $;

2) $ \cos 2\alpha $;

3) $ \operatorname{tg} 4\alpha $.

2. Понизьте степень выражения:

1) $ \sin^2 5\alpha $;

2) $ \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + 20^\circ \right) $.

3. Докажите тождество:

1) $ 2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1 $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha $.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)} $;

2) $ \sqrt{0,5 - 0,5\cos 4\alpha} $, если $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

5. Найдите значение выражения $ \sin 20^\circ (4\cos^2 20^\circ - 1) $.

1.

1) sin 2α

По основному тригонометрическому тождеству $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
$sin \alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.
По условию $270^\circ < \alpha < 360^\circ$, что соответствует IV четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $sin \alpha = -0,8$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
$sin 2\alpha = 2 \cdot (-0,8) \cdot 0,6 = -0,96$.
Ответ: $-0,96$.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1$.
$cos 2\alpha = 2 \cdot (0,6)^2 - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28$.
Ответ: $-0,28$.

3) tg 4α

Сначала найдем $tg 2\alpha$:
$tg 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$.
Используем формулу тангенса двойного угла для $tg 4\alpha = tg(2 \cdot 2\alpha)$:
$tg 4\alpha = \frac{2 tg 2\alpha}{1 - tg^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49-576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{-527}{49}} = \frac{48}{7} \cdot \frac{49}{-527} = -\frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527}$.
Ответ: $-\frac{336}{527}$.

2.

1) sin² 5α

Используем формулу понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}$.
В данном случае $x = 5\alpha$, тогда $2x = 10\alpha$.
$sin^2 5\alpha = \frac{1 - cos 10\alpha}{2}$.
Ответ: $\frac{1 - cos 10\alpha}{2}$.

2) $cos^2\left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right)$

Используем формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos 2x}{2}$.
В данном случае $x = \frac{\alpha}{2} + 20^\circ$, тогда $2x = 2\left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right) = \alpha + 40^\circ$.
$cos^2\left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right) = \frac{1 + cos(\alpha + 40^\circ)}{2}$.
Ответ: $\frac{1 + cos(\alpha + 40^\circ)}{2}$.

3.

1) $2cos^2\alpha - cos 2\alpha = 1$

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу косинуса двойного угла $cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1$.
$2cos^2 \alpha - cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - (2cos^2 \alpha - 1) = 2cos^2 \alpha - 2cos^2 \alpha + 1 = 1$.
$1 = 1$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) $tg \alpha(1 + cos 2\alpha) = sin 2\alpha$

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу $1 + cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha$.
$tg \alpha (1 + cos 2\alpha) = tg \alpha \cdot (2cos^2 \alpha)$.
Заменим $tg \alpha$ на $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot 2cos^2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
Используя формулу синуса двойного угла $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$, получаем:
$2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$.
$sin 2\alpha = sin 2\alpha$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4.

1) $\frac{2sin^2 4\alpha - 1}{2ctg(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)cos^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}$

Упростим числитель, используя формулу $cos 2x = 1 - 2sin^2 x$, откуда $2sin^2 x - 1 = -cos 2x$.
При $x = 4\alpha$, числитель равен $-cos(2 \cdot 4\alpha) = -cos(8\alpha)$.
Упростим знаменатель. Используем формулу приведения $ctg\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = tg y$. Заметим, что $\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) + \left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = \frac{\pi}{2}$.
Пусть $y = \frac{\pi}{4} - 4\alpha$, тогда $\frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{4} + 4\alpha$.
Следовательно, $ctg\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) = tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)$.
Знаменатель принимает вид: $2tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = 2 \frac{sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)} cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = 2sin\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)$.
По формуле синуса двойного угла $2sin y cos y = sin 2y$, знаменатель равен $sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\right) = sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\alpha\right)$.
Используя формулу приведения $sin\left(\frac{\pi}{2} - z\right) = cos z$, получаем $sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\alpha\right) = cos(8\alpha)$.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{-cos(8\alpha)}{cos(8\alpha)} = -1$.
Ответ: $-1$.

2) $\sqrt{0,5 - 0,5cos 4\alpha}$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Преобразуем подкоренное выражение:
$0,5 - 0,5cos 4\alpha = 0,5(1 - cos 4\alpha)$.
Используем формулу понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}$, или $1 - cos 2x = 2sin^2 x$.
При $2x = 4\alpha$, имеем $x=2\alpha$.
$0,5(1 - cos 4\alpha) = 0,5(2sin^2 2\alpha) = sin^2 2\alpha$.
Исходное выражение равно $\sqrt{sin^2 2\alpha} = |sin 2\alpha|$.
Определим знак $sin 2\alpha$ из условия $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим неравенство на 2: $2 \cdot \frac{\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{\pi}{2}$, что дает $\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi$.
Этот интервал соответствует II четверти, где синус положителен. Следовательно, $|sin 2\alpha| = sin 2\alpha$.
Ответ: $sin 2\alpha$.

5.

Рассмотрим выражение $sin 20^\circ (4cos^2 20^\circ - 1)$.
Используем формулу синуса тройного угла в виде $sin(3\alpha) = sin\alpha(4cos^2\alpha - 1)$.
В нашем случае $\alpha = 20^\circ$.
Следовательно, выражение $sin 20^\circ (4cos^2 20^\circ - 1)$ равно $sin(3 \cdot 20^\circ) = sin(60^\circ)$.
Значение $sin(60^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.