Номер 31, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $tg \, x = b$ и $ctg \, x = b$

1. Решите уравнение:

1) $tg \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1$;

2) $8tg \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0$;

3) $2ctg \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0$.

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$ctg \left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.

3. Сколько решений уравнения

$tg \, 3x = 1$

принадлежат промежутку

$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$

имеет уравнение

$\frac{tg \, x - a}{\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$

на промежутке

$\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$?

1) Решим уравнение $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Аргумент тангенса равен арктангенсу от 1 плюс период тангенса, умноженный на целое число $n$.
$\frac{\pi}{6} - 2x = \arctan(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$:
$-2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$-2x = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + \pi n$
$-2x = \frac{\pi}{12} + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 3 = 0$.
Сначала выразим тангенс:
$8\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 3$
$\operatorname{tg}\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{8}$
Теперь решаем как простейшее тригонометрическое уравнение:
$4x - \frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$:
$4x = \frac{\pi}{4} + \arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{1}{4}\arctan\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) - 5 = 0$.
Выразим котангенс:
$2\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = 5$
$\operatorname{ctg}\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{2}$
Теперь решаем как простейшее тригонометрическое уравнение:
$5x - \frac{\pi}{3} = \operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$:
$5x = \frac{\pi}{3} + \operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{1}{5}\operatorname{arccot}\left(\frac{5}{2}\right) + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем наибольший отрицательный корень уравнения $\operatorname{ctg}\left(8x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.
Сначала найдем общее решение уравнения.
$8x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$8x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$
$8x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$8x = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + \pi n$
$8x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8}$
Теперь найдем наибольший отрицательный корень. Для этого решим неравенство $x < 0$.
$\frac{5\pi}{96} + \frac{\pi n}{8} < 0$
Разделим обе части на $\pi$: $\frac{5}{96} + \frac{n}{8} < 0$
$\frac{n}{8} < -\frac{5}{96}$
$n < -\frac{5 \cdot 8}{96}$
$n < -\frac{40}{96}$
$n < -\frac{5}{12}$
Поскольку $n$ — целое число, наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = -1$.
Подставим $n = -1$ в формулу для $x$:
$x = \frac{5\pi}{96} + \frac{\pi (-1)}{8} = \frac{5\pi}{96} - \frac{12\pi}{96} = -\frac{7\pi}{96}$.
Ответ: $-\frac{7\pi}{96}$.

3. Найдем количество решений уравнения $\operatorname{tg}(3x) = 1$ на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Сначала решим уравнение:
$3x = \arctan(1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$
Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку, решив двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \le \frac{\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{12} + \frac{n}{3} \le \frac{1}{2}$
Вычтем $\frac{1}{12}$ из всех частей:
$-\frac{1}{2} - \frac{1}{12} \le \frac{n}{3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{12}$
$-\frac{7}{12} \le \frac{n}{3} \le \frac{5}{12}$
Умножим все части на 3:
$-\frac{21}{12} \le n \le \frac{15}{12}$
$-1.75 \le n \le 1.25$
Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет 3 решения.
Ответ: 3.

4. Рассмотрим уравнение $\frac{\operatorname{tg}\,x - a}{\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ на промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$.
Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \operatorname{tg}\,x - a = 0 \\ \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$
Рассмотрим эти условия на заданном промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$.
1. Условие $\cos x \neq 0$ (область определения тангенса) выполняется, так как точки $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$ не входят в интервал.
2. Условие $\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, то есть $\sin x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ это равенство выполняется только в одной точке $x = \frac{2\pi}{3}$. Следовательно, $x \neq \frac{2\pi}{3}$.
3. Решим основное уравнение $\operatorname{tg}\,x = a$. На промежутке $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ функция $y=\operatorname{tg}\,x$ принимает каждое действительное значение ровно один раз. Это означает, что для любого $a$ уравнение $\operatorname{tg}\,x = a$ имеет ровно один корень на данном промежутке.
Теперь необходимо исключить случай, когда этот единственный корень совпадает с недопустимым значением $x = \frac{2\pi}{3}$.
Найдем, при каком значении $a$ корень будет равен $\frac{2\pi}{3}$:
$a = \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.
Следовательно:
- Если $a = -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $\operatorname{tg}\,x = a$ это $x = \frac{2\pi}{3}$. Но это значение обращает знаменатель исходного уравнения в ноль, поэтому оно не является решением. В этом случае корней нет.
- Если $a \neq -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $\operatorname{tg}\,x = a$ на данном промежутке не равен $\frac{2\pi}{3}$, а значит, является решением исходного уравнения. В этом случае есть один корень.
Ответ: если $a = -\sqrt{3}$, то корней нет; если $a \neq -\sqrt{3}$, то один корень.