Номер 38, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

1. Для функции $f(x) = 5 - 3x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 4t^2 + 2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 3$ с.

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1.

Дана функция $f(x) = 5 - 3x^2$ и точка $x_0$.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$. Приращение функции определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$.

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = 5 - 3(x_0 + \Delta x)^2 = 5 - 3(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 5 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$

Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = 5 - 3x_0^2$

Теперь вычислим приращение $\Delta f$:

$\Delta f = (5 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2) - (5 - 3x_0^2) = -6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$

Далее найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-6x_0 - 3\Delta x)}{\Delta x} = -6x_0 - 3\Delta x$

Наконец, найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$. Этот предел является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} (-6x_0 - 3\Delta x) = -6x_0 - 3 \cdot 0 = -6x_0$

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -6x_0 - 3\Delta x$; $\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -6x_0$.

2.

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 4t^2 + 2$, где $s$ — перемещение в метрах, а $t$ — время в секундах. Необходимо найти мгновенную скорость точки в момент времени $t_0 = 3$ с.

Мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки в момент времени $t$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную функции $s(t)$:

$s'(t) = (4t^2 + 2)' = (4t^2)' + (2)' = 4 \cdot 2t + 0 = 8t$

Таким образом, функция мгновенной скорости имеет вид $v(t) = 8t$.

Теперь найдем значение мгновенной скорости в момент времени $t_0 = 3$ с, подставив это значение в функцию скорости:

$v(3) = 8 \cdot 3 = 24$ м/с.

Ответ: 24 м/с.

3.

Дана функция $y = x^2 + 1$. Требуется найти угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Угловой коэффициент касательной ($k$) к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.

$k = f'(x_0)$

Сначала найдем производную функции $y(x) = x^2 + 1$:

$y' = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Следовательно, угловой коэффициент касательной в указанной точке равен 2.

Ответ: 2.