Номер 37, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 37

Определение предела функции в точке и функции, непрерывной в точке

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 11, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием со-ответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 11

2. Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, \text{ если } x < 2, \\ x^2 - 6, \text{ если } x \ge 2, \end{cases}$ выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = 2$.

3. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin 4x;$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{5\sqrt{x} - x}{x - 4\sqrt{x}};$

3) $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 16}.$

1.

Для графика а:

1) Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке изображена сплошная точка. Значение функции в этой точке равно $f(x_0)$.
Ответ: Да, определена.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа ($x \to x_0$), значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $f(x_0)$.
Ответ: Да, существует. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) Да, предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке.
Ответ: Да, равен.

Для графика б:

1) Нет, функция не определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке изображена "выколотая" точка (пустой кружок).
Ответ: Нет, не определена.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа ($x \to x_0$), значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $a$.
Ответ: Да, существует. $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$.

3) Поскольку функция не определена в точке $x_0$, предел не может быть равен значению функции в этой точке.
Ответ: Нет, так как значение функции в точке не определено.

Для графика в:

1) Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке есть сплошная точка. Ее значение равно $f(x_0)$.
Ответ: Да, определена.

2) Нет, предел функции в точке $x_0$ не существует. Это связано с тем, что односторонние пределы не равны. Предел слева: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$. Предел справа: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = a$. Поскольку на графике видно, что $a \neq f(x_0)$, двусторонний предел не существует.
Ответ: Нет, не существует.

3) Так как предел в точке $x_0$ не существует, он не может быть равен значению функции в этой точке.
Ответ: Нет, так как предел не существует.

2.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 6, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$. Требуется построить график и выяснить, является ли функция непрерывной в точке $x_0 = 2$.

Построение графика:
График функции состоит из двух частей. 1. Для $x < 2$ строим график прямой $y = 3x - 8$. Это луч, проходящий через точки, например, $(0, -8)$ и $(1, -5)$ и заканчивающийся в точке $(2, -2)$, которая не включается в график (изображается "выколотой"). 2. Для $x \ge 2$ строим график параболы $y = x^2 - 6$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -6)$. Эта часть графика начинается в точке $(2, -2)$ (которая включается в график) и продолжается вправо. Таким образом, "выколотая" точка от первой части графика "закрывается" начальной точкой второй части. График является сплошной линией без разрывов.

Проверка непрерывности в точке $x_0 = 2$:
Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$. Так как $x_0=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, используем вторую формулу:
$f(2) = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$.

2. Найдем предел функции в точке $x_0 = 2$. Для этого вычислим односторонние пределы.
Предел слева (при $x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - 8) = 3(2) - 8 = -2$.
Предел справа (при $x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 6) = 2^2 - 6 = -2$.
Так как левый и правый пределы равны, то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен -2: $\lim_{x \to 2} f(x) = -2$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0=2$.
$f(2) = -2$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = -2$.
Поскольку $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, функция является непрерывной в точке $x_0=2$.
Ответ: Да, функция непрерывна в точке $x_0=2$.

3.

1) Вычислить предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin(4x)$.
Функция $y = \sin(4x)$ является непрерывной на всей числовой прямой, поэтому для нахождения предела можно подставить значение $x = \frac{\pi}{12}$ в функцию:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin(4x) = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{4\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Вычислить предел $\lim_{x \to 0} \frac{5\sqrt{x} - x}{x - 4\sqrt{x}}$.
При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия преобразуем выражение, вынеся $\sqrt{x}$ за скобки в числителе и знаменателе, учитывая что $x = (\sqrt{x})^2$ для $x \ge 0$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(5 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 4)}$
Сократим дробь на $\sqrt{x}$ (так как при вычислении предела $x$ стремится к нулю, но не равен ему):
$\lim_{x \to 0} \frac{5 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$
Теперь подставим $x=0$:
$\frac{5 - \sqrt{0}}{\sqrt{0} - 4} = \frac{5 - 0}{0 - 4} = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

3) Вычислить предел $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 16}$.
При подстановке $x=-4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Знаменатель является разностью квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Для разложения числителя $x^2 + 2x - 8$ найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Тогда $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x - (-4)) = (x-2)(x+4)$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to -4} \frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$
Сократим на общий множитель $(x+4)$:
$\lim_{x \to -4} \frac{x-2}{x-4}$
Подставим $x=-4$ в полученное выражение:
$\frac{-4-2}{-4-4} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.