Страница 47 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

О равносильных переходах при решении тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 6x}{1 - \cos 6x} = 0;$

2) $\frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 3x - \sin x} = 0;$

3) $\sin x \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} = 0;$

4) $4 \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 3 \operatorname{ctg} x + 4.$

1) $ \frac{\sin 6x}{1 - \cos 6x} = 0 $
Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$ \begin{cases} \sin 6x = 0, \\ 1 - \cos 6x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$ \sin 6x = 0 $
$ 6x = \pi k, \quad k \in Z $
$ x = \frac{\pi k}{6}, \quad k \in Z $
Теперь проверим выполнение второго условия системы: $ 1 - \cos 6x \neq 0 $, что эквивалентно $ \cos 6x \neq 1 $.
Подставим найденные значения $ 6x = \pi k $ в это условие:
$ \cos(\pi k) \neq 1 $
Известно, что $ \cos(\pi k) = 1 $ при четных значениях $ k $, то есть когда $ k = 2n, \ n \in Z $. Эти значения необходимо исключить из решения.
Следовательно, в решении $ k $ должно быть нечетным числом. Запишем $ k = 2n + 1, \ n \in Z $.
Тогда искомые решения:
$ x = \frac{\pi (2n+1)}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \ n \in Z $.

2) $ \frac{\cos 3x - \cos x}{\sin 3x - \sin x} = 0 $
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \cos 3x - \cos x = 0, \\ \sin 3x - \sin x \neq 0. \end{cases} $
Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $
Система принимает вид:
$ \begin{cases} -2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = 0, \\ 2 \cos \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} \neq 0. \end{cases} \implies \begin{cases} -2 \sin 2x \sin x = 0, \\ 2 \cos 2x \sin x \neq 0. \end{cases} $
Из второго неравенства следует, что $ \cos 2x \neq 0 $ и $ \sin x \neq 0 $.
Из первого уравнения следует, что $ \sin 2x = 0 $ или $ \sin x = 0 $.
Так как по условию $ \sin x \neq 0 $, то остается только $ \sin 2x = 0 $.
Таким образом, решаем систему:
$ \begin{cases} \sin 2x = 0, \\ \sin x \neq 0, \\ \cos 2x \neq 0. \end{cases} $
Решаем первое уравнение $ \sin 2x = 0 $:
$ 2x = \pi k, \quad k \in Z $
$ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in Z $
Проверим выполнение условий:
1) $ \sin x \neq 0 $. Подставляем $ x = \frac{\pi k}{2} $: $ \sin(\frac{\pi k}{2}) \neq 0 $. Это условие выполняется, когда $ k $ — нечетное число, так как при четных $ k=2n $ мы получаем $ \sin(\pi n) = 0 $. Итак, $ k = 2n+1, \ n \in Z $, откуда $ x = \frac{\pi(2n+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n $.
2) $ \cos 2x \neq 0 $. Подставим найденные значения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $:
$ \cos(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos(\pi) = -1 $.
Так как $ -1 \neq 0 $, это условие выполняется.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z $.

3) $ \sin x \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} = 0 $
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из совокупности уравнений и неравенства (области допустимых значений):
$ \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} = 0 \end{array} \right. \\ \cos x - \frac{1}{2} \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \\ \cos x \geq \frac{1}{2} \end{cases} $
Рассмотрим два случая из совокупности с учетом условия $ \cos x \geq \frac{1}{2} $:
1) $ \cos x = \frac{1}{2} $. Это решение автоматически удовлетворяет условию $ \cos x \geq \frac{1}{2} $.
Корни этого уравнения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \ k \in Z $.
2) $ \sin x = 0 $. В этом случае необходимо дополнительно проверить выполнение условия $ \cos x \geq \frac{1}{2} $.
Из $ \sin x = 0 $ следует, что $ x = \pi n, \ n \in Z $.
Найдем значение $ \cos x $ в этих точках: $ \cos(\pi n) = (-1)^n $.
Неравенство $ (-1)^n \geq \frac{1}{2} $ выполняется только при четных значениях $ n $, так как в этом случае $ (-1)^n = 1 $.
Пусть $ n = 2k, \ k \in Z $. Тогда $ x = 2\pi k, \ k \in Z $.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x=2\pi k, \ k \in Z; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in Z $.

4) $ 4\tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 3\ctg x + 4 $
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x \neq \pi n \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k \\ x \neq \pi n \end{cases}, \quad k, n \in Z $
Используем формулу тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \tg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x - \tg\frac{\pi}{4}}{1 + \tg x \tg\frac{\pi}{4}} = \frac{\tg x - 1}{1 + \tg x} $.
Также воспользуемся тем, что $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $. Сделаем замену $ t = \tg x $. Из ОДЗ следует, что $ t \neq 0 $ и $ t \neq -1 $.
Уравнение примет вид:
$ 4 \cdot \frac{t - 1}{t + 1} = \frac{3}{t} + 4 $
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{4(t-1)}{t+1} = \frac{3+4t}{t} $
Используя свойство пропорции (для $ t \neq 0, t \neq -1 $):
$ 4t(t-1) = (3+4t)(t+1) $
$ 4t^2 - 4t = 3t + 3 + 4t^2 + 4t $
$ 4t^2 - 4t = 4t^2 + 7t + 3 $
$ -4t = 7t + 3 $
$ -11t = 3 $
$ t = -\frac{3}{11} $
Полученное значение удовлетворяет условиям $ t \neq 0 $ и $ t \neq -1 $.
Выполним обратную замену:
$ \tg x = -\frac{3}{11} $
$ x = \arctan\left(-\frac{3}{11}\right) + \pi k, \quad k \in Z $
$ x = -\arctan\frac{3}{11} + \pi k, \quad k \in Z $.
Ответ: $ x = -\arctan\frac{3}{11} + \pi k, \ k \in Z $.

Самостоятельная работа № 36

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство:

1) $ \sin \frac{x}{5} > \frac{1}{2}; $

2) $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right) \leqslant-\sqrt{3}; $

3) $ \frac{\sqrt{3}}{3} \leqslant \operatorname{ctg} x \leqslant 4; $

4) $ |\cos x| \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}; $

5) $ \cos x(2 \sin 2 x+\sqrt{3}) < 0. $

1) Решим неравенство $ \sin\frac{x}{5} > \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{5} $, получим неравенство $ \sin t > \frac{1}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сделаем обратную замену:
$ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{5} < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $
Умножим все части неравенства на 5, чтобы найти $ x $:
$ 5 \cdot \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) < x < 5 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) $
$ \frac{5\pi}{6} + 10\pi k < x < \frac{25\pi}{6} + 10\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( \frac{5\pi}{6} + 10\pi k; \frac{25\pi}{6} + 10\pi k \right), k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \text{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}\right) \le -\sqrt{3} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} $, получим неравенство $ \text{tg}\, t \le -\sqrt{3} $.
Решением этого неравенства с учетом области определения тангенса является полуинтервал $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le -\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сделаем обратную замену:
$ -\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \le -\frac{\pi}{3} + \pi k $
Вычтем $ \frac{\pi}{12} $ из всех частей неравенства:
$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + \pi k $
$ -\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi k $
$ -\frac{7\pi}{12} + \pi k < \frac{x}{2} \le -\frac{5\pi}{12} + \pi k $
Умножим все части неравенства на 2:
$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left( -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим двойное неравенство $ \frac{\sqrt{3}}{3} \le \text{ctg}\, x \le 4 $.
Функция $ y = \text{ctg}\, x $ является убывающей на своем основном периоде $ (0, \pi) $.
Найдем значения $ x $, для которых $ \text{ctg}\, x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \text{ctg}\, x = 4 $.
$ \text{ctg}\, x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} $.
$ \text{ctg}\, x = 4 \implies x = \text{arccot}(4) $.
Поскольку $ 4 > \frac{\sqrt{3}}{3} $ и функция котангенса убывающая, то $ \text{arccot}(4) < \frac{\pi}{3} $.
Следовательно, на интервале $ (0, \pi) $ решение неравенства: $ \text{arccot}(4) \le x \le \frac{\pi}{3} $.
Учитывая периодичность котангенса (период $ \pi $), общее решение имеет вид:
$ \text{arccot}(4) + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ \text{arccot}(4) + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ |\cos x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $
2) $ \cos x \le -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Решением первого неравенства является $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Решением второго неравенства является $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти два множества решений, можно заметить, что они симметричны относительно начала координат и повторяются с периодом $ \pi $. Поэтому общее решение можно записать в более компактной форме:
$ -\frac{\pi}{6} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \pi k \right], k \in \mathbb{Z} $.

5) Решим неравенство $ \cos x (2\sin 2x + \sqrt{3}) < 0 $.
Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули каждого множителя на отрезке $ [0, 2\pi) $.
1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2} $.
2) $ 2\sin 2x + \sqrt{3} = 0 \implies \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi m $. При $ m=1, 2 $: $ x = \frac{5\pi}{6}, x = \frac{11\pi}{6} $.
$ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m $. При $ m=1, 2 $: $ x = \frac{2\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3} $.
Отметим точки $ \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{6} $ на числовой окружности и определим знаки выражения на получившихся интервалах.

• Интервал $ (0, \frac{\pi}{2}) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x > 0 \implies $ выражение > 0.
• Интервал $ (\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}) $: $ \cos x < 0 $, $ \sin 2x > 0 \implies $ выражение < 0.
• Интервал $ (\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}) $: $ \cos x < 0 $, $ \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение > 0.
• Интервал $ (\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}) $: $ \cos x < 0 $, $ \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение < 0.
• Интервал $ (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение > 0.
• Интервал $ (\frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение < 0.
• Интервал $ (\frac{11\pi}{6}, 2\pi) $: $ \cos x > 0 $, $ \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies $ выражение > 0.

Объединяем интервалы, где выражение отрицательно, и добавляем период $ 2\pi k $.
Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

Самостоятельная работа № 37

Определение предела функции в точке и функции, непрерывной в точке

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 11, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием со-ответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 11

2. Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, \text{ если } x < 2, \\ x^2 - 6, \text{ если } x \ge 2, \end{cases}$ выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = 2$.

3. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin 4x;$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{5\sqrt{x} - x}{x - 4\sqrt{x}};$

3) $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 16}.$

1.

Для графика а:

1) Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке изображена сплошная точка. Значение функции в этой точке равно $f(x_0)$.
Ответ: Да, определена.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа ($x \to x_0$), значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $f(x_0)$.
Ответ: Да, существует. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) Да, предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке.
Ответ: Да, равен.

Для графика б:

1) Нет, функция не определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке изображена "выколотая" точка (пустой кружок).
Ответ: Нет, не определена.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа ($x \to x_0$), значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $a$.
Ответ: Да, существует. $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$.

3) Поскольку функция не определена в точке $x_0$, предел не может быть равен значению функции в этой точке.
Ответ: Нет, так как значение функции в точке не определено.

Для графика в:

1) Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке есть сплошная точка. Ее значение равно $f(x_0)$.
Ответ: Да, определена.

2) Нет, предел функции в точке $x_0$ не существует. Это связано с тем, что односторонние пределы не равны. Предел слева: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$. Предел справа: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = a$. Поскольку на графике видно, что $a \neq f(x_0)$, двусторонний предел не существует.
Ответ: Нет, не существует.

3) Так как предел в точке $x_0$ не существует, он не может быть равен значению функции в этой точке.
Ответ: Нет, так как предел не существует.

2.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} 3x - 8, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 6, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$. Требуется построить график и выяснить, является ли функция непрерывной в точке $x_0 = 2$.

Построение графика:
График функции состоит из двух частей. 1. Для $x < 2$ строим график прямой $y = 3x - 8$. Это луч, проходящий через точки, например, $(0, -8)$ и $(1, -5)$ и заканчивающийся в точке $(2, -2)$, которая не включается в график (изображается "выколотой"). 2. Для $x \ge 2$ строим график параболы $y = x^2 - 6$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, -6)$. Эта часть графика начинается в точке $(2, -2)$ (которая включается в график) и продолжается вправо. Таким образом, "выколотая" точка от первой части графика "закрывается" начальной точкой второй части. График является сплошной линией без разрывов.

Проверка непрерывности в точке $x_0 = 2$:
Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$. Так как $x_0=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, используем вторую формулу:
$f(2) = 2^2 - 6 = 4 - 6 = -2$.

2. Найдем предел функции в точке $x_0 = 2$. Для этого вычислим односторонние пределы.
Предел слева (при $x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - 8) = 3(2) - 8 = -2$.
Предел справа (при $x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 6) = 2^2 - 6 = -2$.
Так как левый и правый пределы равны, то предел функции в точке $x_0=2$ существует и равен -2: $\lim_{x \to 2} f(x) = -2$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0=2$.
$f(2) = -2$ и $\lim_{x \to 2} f(x) = -2$.
Поскольку $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, функция является непрерывной в точке $x_0=2$.
Ответ: Да, функция непрерывна в точке $x_0=2$.

3.

1) Вычислить предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin(4x)$.
Функция $y = \sin(4x)$ является непрерывной на всей числовой прямой, поэтому для нахождения предела можно подставить значение $x = \frac{\pi}{12}$ в функцию:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{12}} \sin(4x) = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{4\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Вычислить предел $\lim_{x \to 0} \frac{5\sqrt{x} - x}{x - 4\sqrt{x}}$.
При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия преобразуем выражение, вынеся $\sqrt{x}$ за скобки в числителе и знаменателе, учитывая что $x = (\sqrt{x})^2$ для $x \ge 0$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(5 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 4)}$
Сократим дробь на $\sqrt{x}$ (так как при вычислении предела $x$ стремится к нулю, но не равен ему):
$\lim_{x \to 0} \frac{5 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$
Теперь подставим $x=0$:
$\frac{5 - \sqrt{0}}{\sqrt{0} - 4} = \frac{5 - 0}{0 - 4} = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

3) Вычислить предел $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 16}$.
При подстановке $x=-4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Знаменатель является разностью квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Для разложения числителя $x^2 + 2x - 8$ найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Тогда $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x - (-4)) = (x-2)(x+4)$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to -4} \frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$
Сократим на общий множитель $(x+4)$:
$\lim_{x \to -4} \frac{x-2}{x-4}$
Подставим $x=-4$ в полученное выражение:
$\frac{-4-2}{-4-4} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.