Страница 50 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 40

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1. Найдите производную функции:

1) $y = 4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6$;

2) $y = \text{tg} \, x - \text{ctg} \, x$;

3) $y = \sqrt{x}(4x - 3)$;

4) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x}}$;

5) $y = \sqrt[3]{2x^3 + 4x}$;

6) $y = x^3 \sin \frac{2}{x}$;

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 4x|$ в точках $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

1. Найдите производную функции:

1) $y = 4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6$

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$, правило дифференцирования суммы функций и вынесения константы за знак производной.

$y' = (4x^6 - 2x^4 + 3x^2 + 6)' = (4x^6)' - (2x^4)' + (3x^2)' + (6)' = 4 \cdot 6x^{6-1} - 2 \cdot 4x^{4-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 24x^5 - 8x^3 + 6x$.

Ответ: $y' = 24x^5 - 8x^3 + 6x$.

2) $y = \tg x - \ctg x$

Используем производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

$y' = (\tg x - \ctg x)' = (\tg x)' - (\ctg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}$.

Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{(\sin x \cos x)^2}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим: $y' = \frac{1}{(\frac{1}{2}\sin(2x))^2} = \frac{4}{\sin^2(2x)}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{\sin^2(2x)}$.

3) $y = \sqrt{x}(4x - 3)$

Сначала преобразуем функцию, раскрыв скобки: $y = \sqrt{x} \cdot 4x - \sqrt{x} \cdot 3 = 4x^{1}x^{1/2} - 3x^{1/2} = 4x^{3/2} - 3x^{1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (4x^{3/2} - 3x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 6x^{1/2} - \frac{3}{2}x^{-1/2} = 6\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Приводя к общему знаменателю, получим: $y' = \frac{6\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{12x - 3}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{12x - 3}{2\sqrt{x}}$.

4) $y = \frac{x+2}{\sqrt{x}}$

Преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}} = x^{1/2} + 2x^{-1/2}$.

Найдем производную по правилу дифференцирования степенной функции:

$y' = (x^{1/2} + 2x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} + 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x\sqrt{x}}$.

Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{x - 2}{2x\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{x - 2}{2x\sqrt{x}}$.

5) $y = \sqrt[3]{2x^3 + 4x}$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Представим функцию в виде $y = (2x^3 + 4x)^{1/3}$.

$y' = \frac{1}{3}(2x^3 + 4x)^{1/3 - 1} \cdot (2x^3 + 4x)' = \frac{1}{3}(2x^3 + 4x)^{-2/3} \cdot (6x^2 + 4)$.

$y' = \frac{6x^2 + 4}{3(2x^3 + 4x)^{2/3}} = \frac{2(3x^2 + 2)}{3\sqrt[3]{(2x^3 + 4x)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2(3x^2 + 2)}{3\sqrt[3]{(2x^3 + 4x)^2}}$.

6) $y = x^3 \sin\frac{2}{x}$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \sin\frac{2}{x}$. Тогда $u'(x) = 3x^2$.

Производная $v'(x) = (\sin\frac{2}{x})' = \cos(\frac{2}{x}) \cdot (\frac{2}{x})' = \cos(\frac{2}{x}) \cdot (-2x^{-2}) = -\frac{2}{x^2}\cos(\frac{2}{x})$.

Теперь применяем правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (x^3)'\sin\frac{2}{x} + x^3(\sin\frac{2}{x})' = 3x^2\sin\frac{2}{x} + x^3(-\frac{2}{x^2}\cos\frac{2}{x}) = 3x^2\sin\frac{2}{x} - 2x\cos\frac{2}{x}$.

Ответ: $y' = 3x^2\sin\frac{2}{x} - 2x\cos\frac{2}{x}$.

2. Найдите производную функции $f(x) = |x^2 - 4x|$ в точках $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $x^2 - 4x = x(x-4)$ неотрицательно при $x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ и отрицательно при $x \in (0, 4)$.

Таким образом, функцию можно записать в виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{если } x \le 0 \text{ или } x \ge 4 \\ -(x^2 - 4x) = 4x - x^2, & \text{если } 0 < x < 4 \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого интервала:

$f'(x) = \begin{cases} (x^2 - 4x)' = 2x - 4, & \text{если } x < 0 \text{ или } x > 4 \\ (4x - x^2)' = 4 - 2x, & \text{если } 0 < x < 4 \end{cases}$

В точках "излома" $x=0$ и $x=4$ производная не существует.

Найдем значение производной в точке $x_1 = 2$.

Точка $x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(0, 4)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 4 - 2x$.

$f'(2) = 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$.

Найдем значение производной в точке $x_2 = 5$.

Точка $x_2 = 5$ принадлежит интервалу $(4, \infty)$, поэтому используем формулу $f'(x) = 2x - 4$.

$f'(5) = 2(5) - 4 = 10 - 4 = 6$.

Ответ: $f'(2)=0$; $f'(5)=6$.

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+1}{3-x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 5x + 8$, которая параллельна прямой $y = -3x + 5$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 1$, проходящей через точку $B (-1; -1)$.

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x + 1}{3 - x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = \frac{2 + 1}{3 - 2^2} = \frac{3}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$.
Точка касания имеет координаты $(2; -3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = (\frac{x + 1}{3 - x^2})' = \frac{(x+1)'(3-x^2) - (x+1)(3-x^2)'}{(3-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (3-x^2) - (x+1)(-2x)}{(3-x^2)^2} = \frac{3-x^2 + 2x^2 + 2x}{(3-x^2)^2} = \frac{x^2 + 2x + 3}{(3-x^2)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, которое равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 + 3}{(3 - 2^2)^2} = \frac{4 + 4 + 3}{(3 - 4)^2} = \frac{11}{(-1)^2} = 11$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=-3$ и $f'(x_0)=11$ в уравнение касательной:
$y = -3 + 11(x - 2)$
$y = -3 + 11x - 22$
$y = 11x - 25$.

Ответ: $y = 11x - 25$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 5x + 8$, которая параллельна прямой $y = -3x + 5$.

Условие параллельности касательной и прямой $y = -3x + 5$ означает, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = -3x + 5$ равен $-3$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Следовательно, нам нужно найти такую точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = -3$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 5x + 8)' = 2x - 5$.

2. Приравняем производную к $-3$ и найдем абсциссу точки касания $x_0$:
$2x_0 - 5 = -3$
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$.

3. Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 1$ в исходную функцию:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 - 5(1) + 8 = 1 - 5 + 8 = 4$.

4. Составим уравнение касательной, используя точку касания $(1; 4)$ и угловой коэффициент $k = -3$:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 4 + (-3)(x - 1)$
$y = 4 - 3x + 3$
$y = -3x + 7$.

Ответ: $y = -3x + 7$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 1$, проходящей через точку B $(-1; -1)$.

Сначала проверим, лежит ли точка B на графике функции $f(x)$:
$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Поскольку $f(-1) = 0 \neq -1$, точка B не является точкой касания.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Уравнение касательной в этой точке имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

2. Запишем уравнение касательной в общем виде через $x_0$:
$f(x_0) = x_0^2 - 1$
$f'(x_0) = 2x_0$
$y = (x_0^2 - 1) + 2x_0(x - x_0)$
$y = x_0^2 - 1 + 2x_0x - 2x_0^2$
$y = 2x_0x - x_0^2 - 1$.

3. Так как касательная проходит через точку B $(-1; -1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = -1$ и $y = -1$ в полученное уравнение:
$-1 = 2x_0(-1) - x_0^2 - 1$
$-1 = -2x_0 - x_0^2 - 1$
$x_0^2 + 2x_0 = 0$
$x_0(x_0 + 2) = 0$.

4. Решив это уравнение, находим возможные абсциссы точек касания: $x_{0,1} = 0$ и $x_{0,2} = -2$. Это означает, что через точку B можно провести две касательные к графику функции.

5. Найдем уравнения этих касательных, подставляя найденные значения $x_0$ в общее уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 - 1$:
- При $x_0 = 0$:
$y = 2(0)x - 0^2 - 1 \implies y = -1$.
- При $x_0 = -2$:
$y = 2(-2)x - (-2)^2 - 1 \implies y = -4x - 4 - 1 \implies y = -4x - 5$.

Ответ: $y = -1$ и $y = -4x - 5$.