Страница 56 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 11x}$;

2) $f(x) = \sqrt{8 - x^2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 6x}$;

2) $y = (x - 2)\sqrt{x^2 - 6x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^2 - 6x + 5$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[1; 4].$

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 25}$.

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 11x}$

Область определения функции $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^3 + 11x \neq 0 \implies x(x^2 + 11) \neq 0 \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 11(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 11x} = -\frac{1}{x^3 + 11x} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

2) $f(x) = \sqrt{8 - x^2}$

Область определения функции $D(f)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $8 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 8 \implies -\sqrt{8} \le x \le \sqrt{8}$. Таким образом, $D(f) = [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$. Область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{8 - (-x)^2} = \sqrt{8 - x^2} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная.

3) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$

Область определения функции $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $2x + 16 \neq 0 \implies 2x \neq -16 \implies x \neq -8$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; \infty)$.
Область определения не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x = 8$ входит в область определения, а точка $x = -8$ не входит. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 6x}$

1. Найдем область определения: $x^2 - 6x \ge 0 \implies x(x-6) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $D(y) = (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$.
2. Найдем нули функции (точки, где $y=0$): $\sqrt{x^2 - 6x} = 0 \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x-6)=0$. Нули функции: $x_1 = 0, x_2 = 6$.
3. Найдем промежутки знакопостоянства. Так как квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$ на всей области определения.
$y > 0$ при $x^2 - 6x > 0$, что соответствует $x \in (-\infty; 0) \cup (6; \infty)$.
Функция не принимает отрицательных значений.
Ответ: нули функции: $x=0, x=6$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; \infty)$; отрицательных значений нет.

2) $y = (x - 2)\sqrt{x^2 - 6x}$

1. Область определения: $x^2 - 6x \ge 0 \implies D(y) = (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$.
2. Найдем нули функции: $(x - 2)\sqrt{x^2 - 6x} = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$\sqrt{x^2 - 6x} = 0 \implies x=0$ или $x=6$. Оба значения входят в область определения.
$x - 2 = 0 \implies x=2$. Это значение не входит в область определения, поэтому не является нулем функции.
Нули функции: $x=0, x=6$.
3. Найдем промежутки знакопостоянства. Знак функции определяется знаком множителя $(x-2)$, так как $\sqrt{x^2 - 6x} \ge 0$.
$y > 0$, если $x-2 > 0$ и $x$ принадлежит области определения. $x>2$ и $x \in (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$. Пересечение этих множеств дает $x \in (6; \infty)$.
$y < 0$, если $x-2 < 0$ и $x$ принадлежит области определения. $x<2$ и $x \in (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$. Пересечение этих множеств дает $x \in (-\infty; 0)$.
Ответ: нули функции: $x=0, x=6$; $y>0$ при $x \in (6; \infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 6x + 5$ на промежутке:

Графиком функции является парабола с ветвями вверх. Найдем координаты вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_v = y(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

1) [0; 2]

Вершина параболы $x_v = 3$ не принадлежит промежутку $[0; 2]$. На этом промежутке, который находится левее вершины, функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.
$y_{наиб} = y(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$.
$y_{наим} = y(2) = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение -3.

2) [1; 4]

Вершина параболы $x_v = 3$ принадлежит промежутку $[1; 4]$. Так как ветви параболы направлены вверх, в точке вершины функция достигает своего наименьшего значения на этом отрезке.
$y_{наим} = y(3) = -4$.
Наибольшее значение достигается на одном из концов промежутка. Сравним значения функции на концах:
$y(1) = 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.
$y(4) = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.
Сравнивая $0$ и $-3$, получаем $y_{наиб} = 0$.
Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -4.

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 25}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Обозначим $y = f(x)$.
$y = \frac{x}{x^2 + 25}$.
Выразим $x$ через $y$.
$y(x^2 + 25) = x$
$yx^2 - x + 25y = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен.
При $y=0$ уравнение принимает вид $-x=0$, откуда $x=0$. Значит $y=0$ входит в область значений.
При $y \neq 0$ находим дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4(y)(25y) = 1 - 100y^2$.
Условие $D \ge 0$ дает неравенство:
$1 - 100y^2 \ge 0$
$100y^2 \le 1$
$y^2 \le \frac{1}{100}$
$-\sqrt{\frac{1}{100}} \le y \le \sqrt{\frac{1}{100}}$
$-\frac{1}{10} \le y \le \frac{1}{10}$, или $-0.1 \le y \le 0.1$.
Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-0.1; 0.1]$.
Ответ: $E(f) = [-0.1; 0.1]$.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x-1}$;

2) $y = \left|\frac{1}{3x-1}\right|$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{1-4x}$;

2) $y = \sqrt{1-4|x|}$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x|-3| = a(x+5)$ имеет три корня?

1.

1) $y = \frac{1}{3x-1}$

График этой функции является гиперболой. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих геометрических преобразований:

1. Сдвигаем график $y = \frac{1}{x}$ вправо на 1 единицу, чтобы получить $y = \frac{1}{x-1}$.
2. Сжимаем полученный график к оси OY в 3 раза, чтобы получить $y = \frac{1}{3x-1}$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $3x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$. $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x = \frac{1}{3}$.
  • Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• График проходит через точку $(0, -1)$, так как $y(0) = \frac{1}{0-1} = -1$.
• График проходит через точку $(\frac{2}{3}, 1)$, так как $y(\frac{2}{3}) = \frac{1}{3 \cdot \frac{2}{3} - 1} = \frac{1}{2-1} = 1$.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x = \frac{1}{3}$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно этих асимптот.

2) $y = \left|\frac{1}{3x-1}\right|$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{3x-1}$, построенного в предыдущем пункте. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика, которая находится ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, а часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.

• Для $x > \frac{1}{3}$, $3x-1 > 0$, поэтому $y = \frac{1}{3x-1} > 0$. Эта часть графика не меняется.
• Для $x < \frac{1}{3}$, $3x-1 < 0$, поэтому $y = \frac{1}{3x-1} < 0$. Эта часть графика отражается симметрично относительно оси OX. Например, точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.

В результате обе ветви гиперболы будут находиться выше оси OX.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x = \frac{1}{3}$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Обе ветви гиперболы расположены выше оси OX.

2.

1) $y = \sqrt{1-4x}$

График этой функции является ветвью параболы. Его можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси OY, получаем $y = \sqrt{-x}$.
2. Сжимаем полученный график к оси OY в 4 раза, получаем $y = \sqrt{-4x}$.
3. Сдвигаем график вправо на $\frac{1}{4}$ единицы, получаем $y = \sqrt{-4(x-\frac{1}{4})} = \sqrt{1-4x}$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $1 - 4x \ge 0 \implies 4x \le 1 \implies x \le \frac{1}{4}$. $D(y) = (-\infty; \frac{1}{4}]$.
• Область значений: $R(y) = [0; +\infty)$.
• График начинается в точке $(\frac{1}{4}, 0)$ и уходит влево и вверх.
• График пересекает ось OY в точке $(0, 1)$, так как $y(0) = \sqrt{1-0} = 1$.

Ответ: График функции — ветвь параболы, симметричной относительно оси OX, с вершиной в точке $(\frac{1}{4}, 0)$, лежащая в верхней полуплоскости и направленная влево.

2) $y = \sqrt{1-4|x|}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{1-4x}$ (обозначим ее $f(x)$). Данное преобразование имеет вид $y = f(|x|)$. Это означает, что часть графика $f(x)$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а часть для $x < 0$ удаляется. Затем оставшаяся часть ($x \ge 0$) отражается симметрично относительно оси OY.

1. Берем график $y = \sqrt{1-4x}$ из предыдущего пункта для $x \ge 0$. Область определения для этой части: $x \in [0; \frac{1}{4}]$. График представляет собой кривую от точки $(0, 1)$ до точки $(\frac{1}{4}, 0)$.
2. Отражаем эту кривую симметрично относительно оси OY. Получаем вторую часть графика на отрезке $[-\frac{1}{4}; 0]$, от точки $(-\frac{1}{4}, 0)$ до $(0, 1)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

• Область определения: $1 - 4|x| \ge 0 \implies 4|x| \le 1 \implies |x| \le \frac{1}{4}$. $D(y) = [-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}]$.
• Область значений: $R(y) = [0; 1]$.
• Максимум функции достигается в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции — симметричная относительно оси OY кривая, состоящая из двух дуг, с концами в точках $(-\frac{1}{4}, 0)$ и $(\frac{1}{4}, 0)$ и вершиной в точке $(0, 1)$.

3.

Решим задачу графически. Уравнение $|2|x|-3| = a(x+5)$ можно рассматривать как нахождение точек пересечения графиков двух функций: $y = |2|x|-3|$ и $y = a(x+5)$.

1. Построим график функции $y = |2|x|-3|$.

1. Начнем с $y = 2x-3$. Это прямая.
2. Применяем преобразование $f(x) \to f(|x|)$: получаем $y = 2|x|-3$. График представляет собой "галочку" (V-образную кривую) с вершиной в точке $(0, -3)$, пересекающую ось OX в точках $x = 1.5$ и $x = -1.5$.
3. Применяем преобразование $g(x) \to |g(x)|$: получаем $y = |2|x|-3|$. Часть графика $y = 2|x|-3$, лежащая ниже оси OX (между $x=-1.5$ и $x=1.5$), отражается симметрично вверх. Вершина $(0, -3)$ переходит в $(0, 3)$.

Итоговый график $y = |2|x|-3|$ имеет W-образную форму с вершинами в точках $A(-1.5, 0)$, $B(0, 3)$ и $C(1.5, 0)$.

2. Проанализируем график функции $y = a(x+5)$.

Это уравнение задает семейство прямых (пучок прямых), проходящих через точку $P(-5, 0)$. Параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эта прямая пересекает W-образный график ровно в трех точках.

3. Найдем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$.

Будем мысленно вращать прямую вокруг точки $P(-5, 0)$ и считать количество точек пересечения.

• Если $a < 0$, прямая $y=a(x+5)$ положительна при $x<-5$ и отрицательна при $x>-5$. График $y=|2|x|-3|$ всегда неотрицателен. Пересечения возможны только при $x \le -5$. Анализ показывает, что при $a < -2$ есть одно решение, а при $a \in [-2, 0)$ решений нет.
• Если $a=0$, прямая совпадает с осью OX ($y=0$). Она пересекает график в двух точках: $A(-1.5, 0)$ и $C(1.5, 0)$. Два корня.
• Если $a > 0$, прямая имеет положительный наклон.
  • При малых $a > 0$ прямая пересекает две крайние ветви W-образного графика. Два корня.
  • Особый случай — когда прямая проходит через вершину $B(0, 3)$. Найдем соответствующее значение $a$. Прямая проходит через $P(-5, 0)$ и $B(0, 3)$. Угловой коэффициент:
    $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - (-5)} = \frac{3}{5}$.
    При $a = 3/5$ прямая пересекает график в точке $B(0, 3)$. Также она пересекает левую и правую внешние ветви графика (как можно проверить, подставив $y=\frac{3}{5}(x+5)$ в уравнения $y=-2x-3$ и $y=2x-3$). Таким образом, при $a = 3/5$ мы имеем ровно три точки пересечения. Три корня.
  • Если $a > 3/5$, прямая проходит "выше" вершины B и пересекает только две внешние ветви графика. Два корня.
  • Когда прямая становится параллельной правой внешней ветви (с наклоном 2), т.е. при $a=2$, она пересекает только одну (левую) ветвь. Один корень.
  • При $a>2$ прямая еще круче и также пересекает график только в одной точке. Один корень.

Собрав все случаи, видим, что уравнение имеет три корня только в одном случае.

Ответ: $a = \frac{3}{5}$.