Страница 58 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \ge 0$

2) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \ge 0$

3) $\frac{x^2 + 2x}{x - 3} \ge \frac{8}{x - 3}$

4) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \le 0$

2. Найдите множество решений неравенства $(x - 4)(x - a)^2 \ge 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

1)Решим неравенство $(x^2 - 10x)(x^2 - 49) \ge 0$.
Сначала разложим на множители левую часть:
$x^2 - 10x = x(x - 10)$
$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$
Получаем неравенство: $x(x - 10)(x - 7)(x + 7) \ge 0$.
Найдем нули функции $f(x) = x(x + 7)(x - 7)(x - 10)$. Это точки $x = -7, x = 0, x = 7, x = 10$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на пять интервалов.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x \in (10, +\infty)$, все множители положительны, произведение положительно (+).
- При $x \in (7, 10)$, множитель $(x - 10)$ отрицателен, остальные положительны, произведение отрицательно (-).
- При $x \in (0, 7)$, множители $(x - 10)$ и $(x - 7)$ отрицательны, остальные положительны, произведение положительно (+).
- При $x \in (-7, 0)$, множители $(x - 10)$, $(x - 7)$ и $x$ отрицательны, произведение отрицательно (-).
- При $x \in (-\infty, -7)$, все четыре множителя отрицательны, произведение положительно (+).
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, точки-нули включаются в решение.
Объединяя интервалы со знаком "+", получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [0, 7] \cup [10, +\infty)$.

2)Решим неравенство $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \ge 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 3$ на множители. Его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Тогда $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.
Неравенство принимает вид: $(x + 2)^2(x - 1)(x + 3) \ge 0$.
Множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -2$ и положителен при всех остальных $x$.
1. Если $x = -2$, неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$. Следовательно, $x = -2$ является решением.
2. Если $x \ne -2$, то $(x + 2)^2 > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $(x + 2)^2$, знак неравенства не изменится:
$(x - 1)(x + 3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 1$ и $x = -3$.
На числовой оси это соответствует интервалам $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$.
Объединяем решения из обоих случаев: $(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$ и точку $x=-2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup [1, +\infty)$.

3)Решим неравенство $\frac{x^2 + 2x}{x - 3} \ge \frac{8}{x - 3}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} - \frac{8}{x - 3} \ge 0$
$\frac{x^2 + 2x - 8}{x - 3} \ge 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Получаем: $\frac{(x - 2)(x + 4)}{x - 3} \ge 0$.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x = 2, x = -4$ (входят в решение). Нуль знаменателя: $x = 3$ (не входит в решение).
Отметим точки $-4, 2, 3$ на числовой оси.
- При $x \in (3, +\infty)$, выражение положительно.
- При $x \in (2, 3)$, выражение отрицательно.
- При $x \in (-4, 2)$, выражение положительно.
- При $x \in (-\infty, -4)$, выражение отрицательно.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-4, 2] \cup (3, +\infty)$.

4)Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \le 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия подкоренного выражения:
$x^2 + 5x + 4 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, то $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.
В области допустимых значений $\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$.
Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда $\sqrt{x^2 + 5x + 4} = 0$, то есть при $x = -4$ и $x = -1$. В этих точках все выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\le 0$.
2. Когда $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$. В этом случае для выполнения исходного неравенства необходимо, чтобы $x^2 - 5x + 6 \le 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x-3) \le 0$.
Решением этого неравенства является отрезок $[2, 3]$.
Теперь нужно найти пересечение этого решения с ОДЗ:
$[2, 3] \cap ((-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)) = [2, 3]$.
Объединяем решения из обоих случаев: точки $x=-4, x=-1$ и отрезок $[2, 3]$.
Ответ: $x \in \{-4, -1\} \cup [2, 3]$.

2.Найдем множество решений неравенства $(x - 4)(x - a)^2 \ge 0$ в зависимости от параметра $a$.
Выражение $(x - a)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любом $x$.
Рассмотрим два случая:
1. $(x - a)^2 = 0$, то есть $x = a$.
При $x=a$ неравенство принимает вид $(a - 4)(a - a)^2 \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное равенство, значит $x = a$ всегда является решением неравенства при любом значении параметра $a$.
2. $(x - a)^2 > 0$, то есть $x \ne a$.
В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x - a)^2$, не меняя знака неравенства:
$x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.
Таким образом, все $x$ из промежутка $[4, +\infty)$, не равные $a$, являются решениями.
Объединяя оба случая, получаем, что множество решений есть $\{a\} \cup [4, +\infty)$.
Теперь рассмотрим, как это множество выглядит в зависимости от значения $a$:
- Если $a < 4$, то точка $a$ не принадлежит промежутку $[4, +\infty)$, и решение представляет собой объединение изолированной точки и промежутка.
- Если $a \ge 4$, то точка $a$ уже принадлежит промежутку $[4, +\infty)$, и ее добавление не меняет множество.
Ответ: Если $a < 4$, то $x \in \{a\} \cup [4, +\infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in [4, +\infty)$.

Самостоятельная работа № 9

Степенная функция с натуральным показателем

1. Функция задана формулой $\varphi(x) = x^{16}$. Сравните:

1) $\varphi(3,5)$ и $\varphi(2,9)$;

2) $\varphi(-8,1)$ и $\varphi(-6,5)$;

3) $\varphi(1,4)$ и $\varphi(-1,4)$;

4) $\varphi(-0,18)$ и $\varphi(0,14)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^6 = 2 - x$;

2) $x^7 = 2x + 3$.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-6) > f(2)$;

2) $f(-6) > f(-2)$;

3) $f(-6) < f(2)$;

4) $f(-6) < f(-2)$?

4. Решите уравнение $7x^{10} + 8x^{14} = 15$.

1. Функция задана формулой $φ(x) = x^{16}$. Сравните:

Функция $φ(x) = x^{16}$ является степенной функцией с чётным натуральным показателем $n=16$.
Основные свойства этой функции:

• Это чётная функция, то есть $φ(-x) = φ(x)$ для любого $x$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

1) $φ(3,5)$ и $φ(2,9)$
Аргументы $3,5$ и $2,9$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает.
Так как $3,5 > 2,9$, то $φ(3,5) > φ(2,9)$.
Ответ: $φ(3,5) > φ(2,9)$.

2) $φ(-8,1)$ и $φ(-6,5)$
Аргументы $-8,1$ и $-6,5$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0]$, на котором функция убывает.
Так как $-8,1 < -6,5$, то $φ(-8,1) > φ(-6,5)$.
Альтернативно, из-за чётности функции: $φ(-8,1) = 8,1^{16}$ и $φ(-6,5) = 6,5^{16}$. Так как $8,1 > 6,5$, то $8,1^{16} > 6,5^{16}$.
Ответ: $φ(-8,1) > φ(-6,5)$.

3) $φ(1,4)$ и $φ(-1,4)$
Так как функция $φ(x) = x^{16}$ является чётной, то по определению $φ(x) = φ(-x)$.
Следовательно, $φ(1,4) = φ(-1,4)$.
Ответ: $φ(1,4) = φ(-1,4)$.

4) $φ(-0,18)$ и $φ(0,14)$
Используем свойство чётности функции: $φ(-0,18) = (-0,18)^{16} = 0,18^{16} = φ(0,18)$.
Теперь сравним $φ(0,18)$ и $φ(0,14)$. Аргументы $0,18$ и $0,14$ положительны, а на этом промежутке функция возрастает.
Так как $0,18 > 0,14$, то $φ(0,18) > φ(0,14)$, а значит $φ(-0,18) > φ(0,14)$.
Ответ: $φ(-0,18) > φ(0,14)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

Количество корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

1) $x^6 = 2 - x$
Построим в одной системе координат графики функций $y = x^6$ и $y = 2 - x$.
График $y = x^6$ — степенная функция с чётным показателем, её график похож на параболу, симметричен относительно оси ординат и проходит через точки $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,1)$.
График $y = 2 - x$ — прямая, проходящая через точки $(0,2)$ и $(2,0)$.
При построении видно, что графики пересекаются в двух точках: одна в первой четверти (при $x > 0$) и одна во второй четверти (при $x < 0$). Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

2) $x^7 = 2x + 3$
Построим в одной системе координат графики функций $y = x^7$ и $y = 2x + 3$.
График $y = x^7$ — степенная функция с нечётным показателем, её график симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$. Функция возрастает на всей числовой оси.
График $y = 2x + 3$ — прямая, проходящая через точки $(0,3)$ и $(-1,5; 0)$.
При построении видно, что для $x > 0$ кривая $y=x^7$ растет значительно быстрее прямой, поэтому они пересекутся один раз. Для $x < 0$ прямая $y=2x+3$ всегда находится выше кривой $y=x^7$, поэтому пересечений нет. Таким образом, графики пересекаются только в одной точке.
Ответ: 1 корень.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени n функции $y = x^n$, если:

Пусть $f(x) = x^n$.

• Если $n$ — чётное число, то $f(x)$ — чётная функция, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
• Если $n$ — нечётное число, то $f(x)$ — нечётная функция, возрастает на всей числовой оси.

1) $f(-6) > f(2)$
Подставим значения: $(-6)^n > 2^n$.
Если $n$ нечётное, то $-6^n > 2^n$, что неверно (отрицательное число не может быть больше положительного).
Если $n$ чётное, то $6^n > 2^n$, что верно, так как $6 > 2$.
Следовательно, $n$ — чётное число.
Ответ: чётным.

2) $f(-6) > f(-2)$
Аргументы $-6$ и $-2$ лежат на промежутке $(-\infty, 0)$.
Если $n$ чётное, функция на этом промежутке убывает. Так как $-6 < -2$, то $f(-6) > f(-2)$. Это соответствует условию.
Если $n$ нечётное, функция возрастает. Так как $-6 < -2$, то $f(-6) < f(-2)$. Это противоречит условию.
Следовательно, $n$ — чётное число.
Ответ: чётным.

3) $f(-6) < f(2)$
Подставим значения: $(-6)^n < 2^n$.
Если $n$ нечётное, то $-6^n < 2^n$, что верно (отрицательное число всегда меньше положительного).
Если $n$ чётное, то $6^n < 2^n$, что неверно, так как $6 > 2$.
Следовательно, $n$ — нечётное число.
Ответ: нечётным.

4) $f(-6) < f(-2)$?
Аргументы $-6$ и $-2$ лежат на промежутке $(-\infty, 0)$.
Если $n$ чётное, функция на этом промежутке убывает, поэтому из $-6 < -2$ следует $f(-6) > f(-2)$, что противоречит условию.
Если $n$ нечётное, функция на этом промежутке возрастает, поэтому из $-6 < -2$ следует $f(-6) < f(-2)$, что соответствует условию.
Следовательно, $n$ — нечётное число.
Ответ: нечётным.

4. Решите уравнение $7x^{10} + 8x^{14} = 15$.

Перепишем уравнение в виде $8x^{14} + 7x^{10} - 15 = 0$.
Заметим, что $x=1$ является корнем уравнения, так как $8(1)^{14} + 7(1)^{10} - 15 = 8 + 7 - 15 = 0$.
Также $x=-1$ является корнем уравнения, так как $8(-1)^{14} + 7(-1)^{10} - 15 = 8(1) + 7(1) - 15 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 8x^{14} + 7x^{10}$. Это чётная функция, так как состоит из слагаемых с чётными степенями $x$.
Найдём её производную: $f'(x) = 8 \cdot 14x^{13} + 7 \cdot 10x^9 = 112x^{13} + 70x^9 = 14x^9(8x^4 + 5)$.
Выражение $8x^4 + 5$ всегда положительно. Знак производной зависит от знака $x^9$.
При $x > 0$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго убывает.
Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ функция строго возрастает, уравнение $f(x)=15$ может иметь не более одного корня. Мы уже нашли корень $x=1$. Значит, других положительных корней нет.
Поскольку функция $f(x)$ чётная, её поведение на $(-\infty, 0)$ зеркально поведению на $(0, +\infty)$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция строго убывает, поэтому уравнение $f(x)=15$ также может иметь не более одного корня. Мы нашли корень $x=-1$. Значит, других отрицательных корней нет.
Корень $x=0$ не подходит, так как $f(0)=0 \neq 15$.
Таким образом, уравнение имеет только два корня: $x=1$ и $x=-1$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

Самостоятельная работа № 10

Степенная функция с целым показателем

1. Дана функция $f(x) = x^{-26}$. Сравните:

1) $f(-3,9)$ и $f(-2,5)$;

2) $f(0,4)$ и $f(-0,4)$;

3) $f(19)$ и $f(16)$;

4) $f(-26)$ и $f(3)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x} - 2)^0$;

2) $y = (x^{-2})^{-4}$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = -x^3 \\ y = 2 - x \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-2} \\ y = \sqrt{x+2} \end{cases}$

4. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-3) > f(-2)$;

2) $f(-3) < f(2)$;

3) $f(-3) < f(-2)$;

4) $f(3) > f(-2)$?