Номер 10, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Дана функция $f(x) = x^{-26}$. Эта функция является чётной, так как показатель степени $-26$ — чётное число. Это означает, что $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Также, $f(x) = \frac{1}{x^{26}}$.

Для $x > 0$ функция убывает (с ростом $x$, $x^{26}$ растёт, а дробь $\frac{1}{x^{26}}$ уменьшается).

Для $x < 0$ функция возрастает (с ростом $x$ от $-\infty$ до $0$, $|x|$ убывает, $|x|^{26}$ убывает, а дробь $\frac{1}{|x|^{26}} = \frac{1}{x^{26}}$ возрастает).

1) Сравнить $f(-3,9)$ и $f(-2,5)$.
Аргументы $-3,9$ и $-2,5$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$. На этом промежутке функция возрастает. Так как $-3,9 < -2,5$, то $f(-3,9) < f(-2,5)$.
Ответ: $f(-3,9) < f(-2,5)$.

2) Сравнить $f(0,4)$ и $f(-0,4)$.
Функция $f(x) = x^{-26}$ является чётной, поэтому $f(x) = f(-x)$. Следовательно, $f(0,4) = f(-0,4)$.
Ответ: $f(0,4) = f(-0,4)$.

3) Сравнить $f(19)$ и $f(16)$.
Аргументы $19$ и $16$ принадлежат промежутку $(0, \infty)$. На этом промежутке функция убывает. Так как $19 > 16$, то $f(19) < f(16)$.
Ответ: $f(19) < f(16)$.

4) Сравнить $f(-26)$ и $f(3)$.
Так как функция чётная, $f(-26) = f(26)$. Теперь сравним $f(26)$ и $f(3)$. Аргументы $26$ и $3$ принадлежат промежутку $(0, \infty)$, где функция убывает. Так как $26 > 3$, то $f(26) < f(3)$. Следовательно, $f(-26) < f(3)$.
Ответ: $f(-26) < f(3)$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{x} - 2)^0$.
Выражение $a^0$ равно $1$ при условии, что основание $a \neq 0$. Найдём область определения функции. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 2 \neq 0$, что означает $\sqrt{x} \neq 2$, то есть $x \neq 4$. Таким образом, область определения функции: $x \in [0, 4) \cup (4, \infty)$. На всей этой области функция принимает значение $1$. График — это луч $y=1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вправо, с выколотой точкой при $x=4$.
Ответ: Графиком является луч $y=1$ с началом в точке $(0, 1)$ и выколотой точкой $(4, 1)$.

2) $y = (x^{-2})^{-4}$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим выражение: $y = x^{(-2) \cdot (-4)} = x^8$. Однако, нужно учесть область определения исходной функции. Выражение $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определено для всех $x \neq 0$. При $x \neq 0$, $x^{-2}$ всегда положительно, поэтому дальнейшее возведение в степень $-4$ возможно. Таким образом, область определения функции: $x \neq 0$. График функции — это график параболы $y=x^8$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.
Ответ: Графиком является кривая $y=x^8$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = -x^{-3} \\ y = 2 - x \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -1/x^3$ и $y = 2-x$. График $y = -1/x^3$ расположен во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. График $y = 2-x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Функция убывающая. Во второй четверти ($x<0$): график $y=-1/x^3$ идёт от $y=0$ до $y=+\infty$. Прямая $y=2-x$ идёт от $y=+\infty$ до $y=2$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они пересекаются ровно один раз. В четвертой четверти ($x>0$): график $y=-1/x^3$ идёт от $y=-\infty$ до $y=0$. Прямая $y=2-x$ при $x>0$ идёт от $y=2$ до $y=-\infty$. Для $x>2$ прямая находится в четвертой четверти. Здесь также возрастающая функция пересекает убывающую ровно один раз. Система имеет 2 решения.
Ответ: 2 решения.

2) $\begin{cases} y = x^{-2} \\ y = \sqrt{x} + 2 \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $y = 1/x^2$ и $y = \sqrt{x}+2$. График $y = 1/x^2$ расположен в первой и второй координатных четвертях, симметричен относительно оси $Oy$. График $y = \sqrt{x}+2$ расположен только в первой координатной четверти (и на оси $Oy$), так как область определения $x \ge 0$. Он начинается в точке $(0, 2)$ и возрастает. Следовательно, точки пересечения могут быть только при $x > 0$ (в первой четверти). При $x > 0$ функция $y = 1/x^2$ убывает от $+\infty$ до $0$. Функция $y=\sqrt{x}+2$ возрастает от $2$ до $+\infty$. Так как при $x \to 0^+$ имеем $1/x^2 \to +\infty$ и $\sqrt{x}+2 \to 2$, то график $y=1/x^2$ находится выше. Так как при $x \to +\infty$ имеем $1/x^2 \to 0$ и $\sqrt{x}+2 \to +\infty$, то график $y=\sqrt{x}+2$ находится выше. Поскольку одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, они пересекутся ровно один раз.
Ответ: 1 решение.

4. Проанализируем функцию $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ - натуральное число.
Если $n$ — чётное число, то $f(x)$ — чётная функция ($f(-x)=f(x)$). Она возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, \infty)$.
Если $n$ — нечётное число, то $f(x)$ — нечётная функция ($f(-x)=-f(x)$). Она убывает на всей области определения: на $(-\infty, 0)$ и на $(0, \infty)$.

1) $f(-3) > f(-2)$.
Аргументы находятся на промежутке $(-\infty, 0)$, причём $-3 < -2$. Неравенство показывает, что при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Это означает, что функция убывает на этом промежутке. Убывание на $(-\infty, 0)$ свойственно функции с нечётным показателем $n$.
Ответ: нечётным.

2) $f(-3) < f(2)$.
Проверим оба случая. Если $n$ чётное: $f(-3) = f(3) = \frac{1}{3^n}$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$. Так как $3 > 2$, то $3^n > 2^n$, и $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$. Неравенство верно. Если $n$ нечётное: $f(-3) = \frac{1}{(-3)^n} = -\frac{1}{3^n}$. Неравенство принимает вид $-\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$. Это верно, так как отрицательное число всегда меньше положительного. Данное неравенство выполняется для любого натурального $n$. Следовательно, по этому условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: невозможно определить.

3) $f(-3) < f(-2)$.
Аргументы находятся на промежутке $(-\infty, 0)$, причём $-3 < -2$. Неравенство показывает, что при увеличении аргумента значение функции увеличивается. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке. Возрастание на $(-\infty, 0)$ свойственно функции с чётным показателем $n$.
Ответ: чётным.

4) $f(3) > f(-2)$.
Проверим оба случая. Если $n$ чётное: $f(-2) = f(2)$. Неравенство принимает вид $f(3) > f(2)$, то есть $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{2^n}$. Это неверно, так как $3^n > 2^n$. Значит, $n$ не может быть чётным. Если $n$ нечётное: $f(-2) = \frac{1}{(-2)^n} = -\frac{1}{2^n}$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} > -\frac{1}{2^n}$. Это верно, так как положительное число всегда больше отрицательного. Значит, $n$ должно быть нечётным.
Ответ: нечётным.