Номер 3, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Высказывания и операции над ними

Даны два высказывания: $A = \{11 \in N\}$, $B = \{4 + 5 = 10\}$.
Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $B \Rightarrow \overline{A}$; 2) $A \vee B$; 3) $\overline{A} \Leftrightarrow B$; 4) $A \wedge \overline{B}$.

Пусть $f$ — функция истинности, А и В — некоторые высказывания. Известно, что $f(A) = 0$ и $f(\overline{B} \Rightarrow A) = 0$.
Найдите $f(B)$.

Составьте таблицу истинности для логического выражения

$(\overline{A} \Rightarrow B) \wedge C$.

1.

Сначала определим истинность исходных высказываний $A = \{11 \in N\}$ и $B = \{4+5=10\}$.

Высказывание A ("11 принадлежит множеству натуральных чисел") истинно, так как 11 является натуральным числом. Обозначим истинность как 1: $f(A) = 1$.

Высказывание B ("$4 + 5 = 10$") ложно, так как $4 + 5 = 9$. Обозначим ложность как 0: $f(B) = 0$.

Соответственно, истинность их отрицаний: $f(\bar{A}) = 0$ (ложь) и $f(\bar{B}) = 1$ (истина).

Теперь определим истинность составных высказываний:

1) Для высказывания $B \Rightarrow \bar{A}$ подставляем значения истинности: $0 \Rightarrow 0$. Операция импликации (следование) ложна только в случае, когда из истины следует ложь ($1 \Rightarrow 0$). В данном случае ($0 \Rightarrow 0$) импликация истинна.
Ответ: истинно.

2) Для высказывания $A \lor B$ подставляем значения истинности: $1 \lor 0$. Операция дизъюнкции (логическое "ИЛИ") истинна, если хотя бы один из операндов истинен. Так как $A$ истинно, всё выражение истинно.
Ответ: истинно.

3) Для высказывания $\bar{A} \Leftrightarrow B$ подставляем значения истинности: $0 \Leftrightarrow 0$. Операция эквиваленции истинна, когда оба операнда имеют одинаковое значение истинности. В данном случае оба ложны, поэтому эквиваленция истинна.
Ответ: истинно.

4) Для высказывания $A \land \bar{B}$ подставляем значения истинности: $1 \land 1$. Операция конъюнкции (логическое "И") истинна только тогда, когда оба операнда истинны, что и выполняется в данном случае.
Ответ: истинно.

2.

По условию, $f$ — функция истинности, и известны значения: $f(A) = 0$ и $f(\bar{B} \Rightarrow A) = 0$. Необходимо найти $f(B)$.

Из условия $f(A) = 0$ следует, что высказывание A ложно.

Из условия $f(\bar{B} \Rightarrow A) = 0$ следует, что импликация (следование) $\bar{B} \Rightarrow A$ ложна.

Логическая операция импликации $P \Rightarrow Q$ ложна тогда и только тогда, когда посылка $P$ истинна, а следствие $Q$ ложно.

В нашем случае посылкой является $\bar{B}$, а следствием — $A$. Для того чтобы импликация была ложной, должны одновременно выполняться два условия:

1. Посылка $\bar{B}$ должна быть истинной, то есть $f(\bar{B}) = 1$.
2. Следствие $A$ должно быть ложным, то есть $f(A) = 0$.

Условие $f(A) = 0$ совпадает с исходными данными.

Из условия $f(\bar{B}) = 1$ следует, что отрицание высказывания B истинно. Если отрицание истинно, то само высказывание B ложно.

Следовательно, $f(B) = 0$.

Ответ: $f(B) = 0$.

3.

Для построения таблицы истинности для логического выражения $(\bar{A} \Rightarrow B) \land C$ необходимо перебрать все возможные комбинации значений истинности для переменных A, B и C и вычислить значение выражения для каждой комбинации. Будем использовать 1 для "истины" и 0 для "лжи".

Ответ: Таблица истинности для выражения $(\bar{A} \Rightarrow B) \land C$ представлена выше.