Номер 4, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Предикаты. Операции над предикатами.

Виды теорем

1. На множестве всех упорядоченных пар $(x; y)$ действительных чисел задан предикат $A(x; y) = \{x^2 + (y + 2)^2 = 0\}$. Укажите область истинности этого предиката.

2. На множестве $\mathbb{R}$ заданы предикаты $A(x) = \{x^2 + 7x = 0\}$ и $B(x) = \{x^2 - 49 = 0\}$. Укажите область истинности предиката:

1) $A(x) \wedge B(x)$;

2) $A(x) \vee B(x)$;

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$;

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$.

3. Вместо * поставьте один из кванторов $\forall$ или $\exists$, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) $(*x \in \mathbb{R})(5x - 9 < 0)$;

2) $(*x \in \mathbb{R})(x^2 - 6x + 5 \geq -4)$.

4. Рассмотрим теорему: если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Сформулируйте теорему:

1) противоположную данной;

2) обратную противоположной.

1. Предикат $A(x; y) = \{x^2 + (y + 2)^2 = 0\}$ задан на множестве действительных чисел. Область истинности этого предиката — это множество всех пар $(x; y)$, для которых высказывание $x^2 + (y + 2)^2 = 0$ является истинным.

Выражения $x^2$ и $(y+2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны, то есть $x^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, равенство $x^2 + (y + 2)^2 = 0$ выполняется только при одновременном выполнении условий:

$x^2 = 0$

$(y + 2)^2 = 0$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Из второго уравнения получаем $y + 2 = 0$, откуда $y = -2$.

Следовательно, предикат истинен только для одной упорядоченной пары чисел $(0; -2)$.

Ответ: Область истинности предиката $A(x; y)$ есть множество, состоящее из одного элемента: $\{(0; -2)\}$.

2. Сначала найдем области истинности для каждого из предикатов $A(x)$ и $B(x)$ на множестве действительных чисел $R$.

Для предиката $A(x) = \{x^2 + 7x = 0\}$:

$x^2 + 7x = 0$

$x(x + 7) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -7$.

Область истинности $A(x)$ — это множество $T_A = \{-7, 0\}$.

Для предиката $B(x) = \{x^2 - 49 = 0\}$:

$x^2 - 49 = 0$

$(x - 7)(x + 7) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = -7$.

Область истинности $B(x)$ — это множество $T_B = \{-7, 7\}$.

Теперь найдем области истинности для составных предикатов.

1) $A(x) \land B(x)$

Конъюнкция $A(x) \land B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда истинны оба предиката $A(x)$ и $B(x)$. Область истинности этого предиката является пересечением областей истинности $T_A$ и $T_B$.

$T_{A \land B} = T_A \cap T_B = \{-7, 0\} \cap \{-7, 7\} = \{-7\}$.

Ответ: $\{-7\}$.

2) $A(x) \lor B(x)$

Дизъюнкция $A(x) \lor B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $A(x)$ или $B(x)$. Область истинности этого предиката является объединением областей истинности $T_A$ и $T_B$.

$T_{A \lor B} = T_A \cup T_B = \{-7, 0\} \cup \{-7, 7\} = \{-7, 0, 7\}$.

Ответ: $\{-7, 0, 7\}$.

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$

Импликация $A(x) \Rightarrow B(x)$ ложна только в том случае, когда $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Нам нужно найти все $x$, для которых это высказывание истинно.

$A(x)$ истинно при $x \in \{-7, 0\}$.

$B(x)$ ложно при $x \notin \{-7, 7\}$.

Найдем $x$, при которых $A(x)$ истинно и $B(x)$ ложно:

Если $x = -7$, то $A(-7)$ истинно и $B(-7)$ истинно. Импликация $И \Rightarrow И$ истинна.

Если $x = 0$, то $A(0)$ истинно, а $B(0)$ ($0^2-49=0$) ложно. Импликация $И \Rightarrow Л$ ложна.

Таким образом, предикат $A(x) \Rightarrow B(x)$ ложен только при $x = 0$. Следовательно, он истинен для всех остальных действительных чисел.

Ответ: $R \setminus \{0\}$, или $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$

Эквиваленция $A(x) \Leftrightarrow B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда оба предиката $A(x)$ и $B(x)$ одновременно истинны или одновременно ложны.

Случай 1: $A(x)$ и $B(x)$ оба истинны. Это соответствует пересечению их областей истинности: $T_A \cap T_B = \{-7\}$.

Случай 2: $A(x)$ и $B(x)$ оба ложны. $A(x)$ ложно при $x \notin \{-7, 0\}$. $B(x)$ ложно при $x \notin \{-7, 7\}$. Оба ложны при $x \in (R \setminus \{-7, 0\}) \cap (R \setminus \{-7, 7\}) = R \setminus \{-7, 0, 7\}$.

Область истинности эквиваленции — это объединение множеств, полученных в этих двух случаях:

$\{-7\} \cup (R \setminus \{-7, 0, 7\}) = R \setminus \{0, 7\}$.

Ответ: $R \setminus \{0, 7\}$, или $(-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

3.

1) $(*x \in R)(5x - 9 < 0)$

Рассмотрим неравенство $5x - 9 < 0$. Решив его, получим $5x < 9$, то есть $x < 1.8$.

Квантор всеобщности $\forall$ (для всех) здесь не подходит, так как неравенство выполняется не для всех действительных чисел. Например, для $x=2$ получаем $5 \cdot 2 - 9 = 1 > 0$, что является ложью.

Квантор существования $\exists$ (существует) подходит, так как существуют действительные числа, для которых неравенство истинно. Например, для $x=0$ получаем $5 \cdot 0 - 9 = -9 < 0$.

Следовательно, нужно поставить квантор $\exists$.

Ответ: $\exists$.

2) $(*x \in R)(x^2 - 6x + 5 \ge -4)$

Рассмотрим неравенство $x^2 - 6x + 5 \ge -4$. Перенесем $-4$ в левую часть:

$x^2 - 6x + 5 + 4 \ge 0$

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом:

$(x - 3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Это неравенство истинно для любого действительного числа $x$.

Следовательно, нужно поставить квантор всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$.

4. Исходная теорема имеет вид "Если P, то Q" ($P \Rightarrow Q$), где:

P: "в параллелограмме диагонали перпендикулярны".

Q: "этот параллелограмм является ромбом".

Отрицания этих высказываний:

$\neg P$: "в параллелограмме диагонали не перпендикулярны".

$\neg Q$: "этот параллелограмм не является ромбом".

1) противоположную данной;

Противоположная теорема (инверсия) имеет вид "Если не P, то не Q" ($\neg P \Rightarrow \neg Q$).

Формулировка: "Если в параллелограмме диагонали не перпендикулярны, то этот параллелограмм не является ромбом".

Ответ: Если в параллелограмме диагонали не перпендикулярны, то этот параллелограмм не является ромбом.

2) обратную противоположной.

Противоположная теорема — это $\neg P \Rightarrow \neg Q$. Обратная к ней (конверсия) будет иметь вид "Если не Q, то не P" ($\neg Q \Rightarrow \neg P$). Эта теорема также называется контрапозицией к исходной.

Формулировка: "Если параллелограмм не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны".

Ответ: Если параллелограмм не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны.